Probabilidad y Estadística 2015 Andalucia
Probabilidad de producción de jamones ibéricos
EJERCICIO 3
Una empresa dedicada a la producción de jamones ibéricos dispone de dos secaderos, A y B, con distintas condiciones ambientales y de almacenamiento. En el secadero B se curan la tercera parte de los jamones. El 25% de los jamones curados en el secadero A son catalogados como Reserva, mientras que en el B este porcentaje asciende al 80%. Elegido un jamón al azar de uno de los secaderos, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) (1.5 puntos) El jamón no es de Reserva.
b) (1 punto) Si el jamón es de Reserva, que proceda del secadero A.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen:
* $A$: El jamón procede del secadero A.
* $B$: El jamón procede del secadero B.
* $R$: El jamón es catalogado como Reserva.
* $\bar{R}$: El jamón no es catalogado como Reserva.
Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades:
* $P(B) = \dfrac{1}{3}$ (la tercera parte).
* $P(A) = 1 - P(B) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
* $P(R|A) = 0.25 = \dfrac{1}{4}$ (probabilidad de ser Reserva si es de A).
* $P(R|B) = 0.80 = \dfrac{4}{5}$ (probabilidad de ser Reserva si es de B).
Representamos la situación en un **diagrama de árbol**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que el jamón no sea de Reserva
**a) (1.5 puntos) El jamón no es de Reserva.**
Para calcular la probabilidad de que un jamón no sea de Reserva, $P(\bar{R})$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
Este suceso puede ocurrir por dos vías: que el jamón sea del secadero A y no sea reserva, o que sea del secadero B y no sea reserva:
$$P(\bar{R}) = P(A) \cdot P(\bar{R}|A) + P(B) \cdot P(\bar{R}|B)$$
Sustituimos los valores conocidos:
* $P(A) = \dfrac{2}{3}$
* $P(\bar{R}|A) = 1 - 0.25 = 0.75 = \dfrac{3}{4}$
* $P(B) = \dfrac{1}{3}$
* $P(\bar{R}|B) = 1 - 0.80 = 0.20 = \dfrac{1}{5}$
$$P(\bar{R}) = \left( \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \right) + \left( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{5} \right)$$
$$P(\bar{R}) = \dfrac{6}{12} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{15}$$
$$P(\bar{R}) = \dfrac{15 + 2}{30} = \dfrac{17}{30} \approx 0.5667$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{R}) = \dfrac{17}{30} \approx 0.5667}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) (1 punto) Si el jamón es de Reserva, que proceda del secadero A.**
Nos piden la probabilidad de que proceda de A dado que sabemos que es de Reserva, es decir, $P(A|R)$. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|R) = \frac{P(A) \cdot P(R|A)}{P(R)}$$
Primero, calculamos $P(R)$. Como sabemos que $P(\bar{R}) = \dfrac{17}{30}$:
$$P(R) = 1 - P(\bar{R}) = 1 - \dfrac{17}{30} = \dfrac{13}{30}$$
Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (que sea de A y Reserva):
$$P(A \cap R) = P(A) \cdot P(R|A) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$$
Aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(A|R) = \frac{1/6}{13/30} = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{30}{13} = \dfrac{30}{78}$$
Simplificamos la fracción dividiendo entre 6:
$$P(A|R) = \dfrac{5}{13} \approx 0.3846$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado final (es Reserva) y queremos saber la probabilidad de la causa (secadero A).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|R) = \dfrac{5}{13} \approx 0.3846}$$