Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Estime, mediante un intervalo de confianza, la media poblacional para un nivel de confianza del 92%. Obtenga su error de estimación.** Primero, identificamos los datos conocidos de la población y la muestra: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2$ - Tamaño de la muestra: $n = 10$ Calculamos la media muestral ($\bar{x}$) sumando todos los valores de la muestra y dividiendo por $n$: $$\bar{x} = \frac{3.8 + 6.3 + 4.3 + 6 + 6.2 + 5.8 + 1.5 + 3.3 + 3.4 + 2.9}{10} = \frac{43.5}{10} = 4.35$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el mejor estimador puntual de la media poblacional $\mu$. Asegúrate de sumar con cuidado todos los decimales. $$\boxed{\bar{x} = 4.35}$$

Para un nivel de confianza del $92\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.92$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.92 = 0.08$ 3. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.04$ Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.04 = 0.96$$ Consultando la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$, buscamos el valor más próximo a $0.96$. Observamos que: - $P(Z \le 1.75) = 0.9599$ - $P(Z \le 1.76) = 0.9608$ El valor más cercano es **$1.75$**. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.75}$$

Calculamos primero el **error de estimación** ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.75 \cdot \frac{2}{\sqrt{10}} = 1.75 \cdot \frac{2}{3.1623} \approx 1.1068$$ Ahora formamos el **intervalo de confianza** utilizando la fórmula: $$I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ $$I.C. = (4.35 - 1.1068, 4.35 + 1.1068) = (3.2432, 5.4568)$$ 💡 **Tip:** El error de estimación es la distancia máxima que esperamos que haya entre la media de la muestra y la verdadera media de la población. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Error: } 1.1068, \quad I.C.: (3.2432, 5.4568)}$$

**b) (1 punto) ¿Qué tamaño muestral mínimo sería necesario para reducir ese error a la mitad, con el mismo nivel de confianza?** Queremos que el nuevo error ($E'$) sea la mitad del anterior: $$E' = \frac{E}{2} = \frac{1.1068}{2} = 0.5534$$ Partimos de la fórmula del error para despejar el tamaño muestral ($n$): $$E' = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E'}$$ $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E'} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos ($z_{\alpha/2} = 1.75$, $\sigma = 2$, $E' = 0.5534$): $$n = \left( \frac{1.75 \cdot 2}{0.5534} \right)^2 = \left( \frac{3.5}{0.5534} \right)^2 \approx (6.3245)^2 = 39.999$$ 💡 **Tip:** Si queremos reducir el error a la mitad, el tamaño de la muestra debe multiplicarse por 4, ya que el error depende de la raíz cuadrada de $n$. Como $10 \cdot 4 = 40$, el resultado es coherente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 40 \text{ datos}}$$