Ecuación matricial y parámetros en matrices

**a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot X + \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = I_2$.** Llamamos a las matrices para simplificar la notación: $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ e $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. La ecuación es $A \cdot X + B = I_2$. Despejamos $X$ siguiendo las reglas del álgebra matricial: 1. Restamos $B$ en ambos lados: $$A \cdot X = I_2 - B$$ 2. Multiplicamos por la izquierda por la inversa de $A$ ($A^{-1}$), asumiendo que existe: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot (I_2 - B)$$ $$X = A^{-1} \cdot (I_2 - B)$$ Calculamos primero la matriz $C = I_2 - B$: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 0-(-1) \\ 0-0 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en matrices no existe la división. Para despejar una matriz que multiplica por la izquierda, debemos multiplicar por su inversa también por la izquierda.

Para calcular $A^{-1}$, primero hallamos su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (1 \cdot 1) = 4 - 1 = 3.$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz **es invertible**. Ahora calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +|2| = 2$ - $A_{12} = -|1| = -1$ - $A_{21} = -|1| = -1$ - $A_{22} = +|2| = 2$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ La traspuesta de la adjunta coincide en este caso por ser simétrica: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, la inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)^t = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$

Sustituimos los valores en la expresión $X = A^{-1} \cdot C$: $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices fila por columna: - Fila 1: $(2 \cdot 0) + (-1 \cdot 0) = 0$ y $(2 \cdot 1) + (-1 \cdot -1) = 2 + 1 = 3$ - Fila 2: $(-1 \cdot 0) + (2 \cdot 0) = 0$ y $(-1 \cdot 1) + (2 \cdot -1) = -1 - 2 = -3$ $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, calcule los valores de $a$ y $b$ para que se verifique la ecuación $M \cdot A = A$.** Primero, calculamos el producto $M \cdot A$: $$M \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto: - Fila 1: $(0 \cdot a) + (1 \cdot 2) = 2$ y $(0 \cdot b) + (1 \cdot 1) = 1$ - Fila 2: $(1 \cdot a) + (0 \cdot 2) = a$ y $(1 \cdot b) + (0 \cdot 1) = b$ Por tanto: $$M \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$$

Igualamos el resultado obtenido a la matriz $A$ original: $$M \cdot A = A \implies \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, deben ser iguales todos sus elementos correspondientes: 1. Elemento (1,1): $2 = a \implies a = 2$ 2. Elemento (1,2): $1 = b \implies b = 1$ 3. Elemento (2,1): $a = 2$ 4. Elemento (2,2): $b = 1$ Ambos valores son coherentes en todas las posiciones. 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios, comprueba siempre que los valores obtenidos cumplen todas las igualdades del sistema resultante. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{a = 2, \quad b = 1}$$