Independencia y Probabilidad Condicionada

**a) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos “conducir” y “consumir alcohol”?** Primero, definimos los sucesos según los datos del enunciado: - $C$: "Conducir la noche del 31 de diciembre". - $A$: "Consumir alcohol esa noche". Los datos en términos de probabilidad son: - $P(C) = 5\% = 0,05$ - $P(A) = 20\% = 0,20$ - $P(C \cap A) = 2\% = 0,02$ Para que dos sucesos sean independientes, debe cumplirse que la probabilidad de la intersección sea igual al producto de sus probabilidades individuales: $$P(C \cap A) = P(C) \cdot P(A)$$ Calculamos el producto: $$P(C) \cdot P(A) = 0,05 \cdot 0,20 = 0,01$$ Como $P(C \cap A) = 0,02$ y $P(C) \cdot P(A) = 0,01$, observamos que: $$0,02 \neq 0,01 \implies P(C \cap A) \neq P(C) \cdot P(A)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el hecho de que ocurra un suceso cambia la probabilidad de que ocurra el otro, entonces son dependientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes, son sucesos dependientes}}$$

Para facilitar los siguientes apartados, vamos a organizar la información en una tabla de contingencia (o tabla de doble entrada), utilizando los complementarios $\bar{C}$ (no conduce) y $\bar{A}$ (no consume alcohol). $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & C & \bar{C} & \text{Total} \\ \hline A & 0,02 & 0,18 & 0,20 \\ \hline \bar{A} & 0,03 & 0,77 & 0,80 \\ \hline \text{Total} & 0,05 & 0,95 & 1,00 \\ \hline \end{array}$$ **¿Cómo hemos rellenado la tabla?** 1. Colocamos los totales conocidos: $P(C)=0,05$ y $P(A)=0,20$. 2. Colocamos la intersección conocida: $P(C \cap A) = 0,02$. 3. Calculamos el resto por diferencia (ej. $P(\bar{A}) = 1 - 0,20 = 0,80$; $P(\bar{C} \cap A) = 0,20 - 0,02 = 0,18$).

**b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de la población no conduce ni consume alcohol esa noche?** Buscamos la probabilidad de que ocurran ambos sucesos contrarios a la vez, es decir, $P(\bar{C} \cap \bar{A})$. Observando la tabla de contingencia realizada en el paso anterior, el valor correspondiente a la intersección de no conducir y no consumir alcohol es: $$P(\bar{C} \cap \bar{A}) = 0,77$$ También podemos calcularlo mediante las **Leyes de De Morgan**: $$P(\bar{C} \cap \bar{A}) = P(\overline{C \cup A}) = 1 - P(C \cup A)$$ Primero hallamos la unión: $$P(C \cup A) = P(C) + P(A) - P(C \cap A) = 0,05 + 0,20 - 0,02 = 0,23$$ Entonces: $$P(\bar{C} \cap \bar{A}) = 1 - 0,23 = 0,77$$ Para expresar el resultado en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0,77 \cdot 100 = 77\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{77\%}$$

**c) (1 punto) De las personas que consumen alcohol, ¿qué porcentaje conduce esa noche?** Este apartado nos pide una **probabilidad condicionada**. Queremos saber la probabilidad de que alguien conduzca ($C$) sabiendo que consume alcohol ($A$). La fórmula es: $$P(C|A) = \frac{P(C \cap A)}{P(A)}$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$P(C|A) = \frac{0,02}{0,20}$$ Realizamos la operación: $$P(C|A) = 0,1$$ Convertimos a porcentaje: $$0,1 \cdot 100 = 10\%$$ 💡 **Tip:** En los problemas de probabilidad, frases como "De los que..." o "Sabiendo que..." indican que debemos usar la probabilidad condicionada, poniendo ese suceso en el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{10\%}$$