Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) (2 puntos) Se toma una muestra aleatoria de 9 hipotecas con los siguientes capitales (en euros): 95000 99000 105000 106000 108000 111000 112000 115000 120000. Construya un intervalo de confianza, al 95%, para el capital medio de dichas hipotecas.** Primero definimos la variable aleatoria $X$, que representa el capital de las hipotecas en euros. El enunciado nos indica que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, 10000)$$ Donde: - La media poblacional $\mu$ es desconocida. - La desviación típica poblacional es $\sigma = 10000$. - El tamaño de la muestra es $n = 9$. - El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0,95$ (lo que implica un nivel de significación $\alpha = 0,05$).

Para construir el intervalo, necesitamos la media de los datos proporcionados en la muestra ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{95000 + 99000 + 105000 + 106000 + 108000 + 111000 + 112000 + 115000 + 120000}{9}$$ $$\bar{x} = \frac{971000}{9} \approx 107888,89 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Suma con cuidado todos los valores y divide por el número total de datos ($n$). Es recomendable trabajar con dos decimales en estos ejercicios si no resulta un número exacto. $$\boxed{\bar{x} \approx 107888,89 \text{ €}}$$

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad entre $-z_{\alpha/2}$ y $z_{\alpha/2}$ sea $0,95$. Esto significa que en las colas de la distribución queda un $5\%$ repartido en dos partes del $2,5\%$ cada una ($0,025$): $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,025 = 0,975$$ Buscando en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0,975$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1,645$ (90%), $1,96$ (95%) y $2,575$ (99%). Memorizarlos te ahorrará tiempo en el examen.

La fórmula para el intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$ es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot \frac{10000}{\sqrt{9}} = 1,96 \cdot \frac{10000}{3} \approx 1,96 \cdot 3333,33 \approx 6533,33$$ Ahora aplicamos los límites: - Límite inferior: $107888,89 - 6533,33 = 101355,56$ - Límite superior: $107888,89 + 6533,33 = 114422,22$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (101355,56, 114422,22)}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Qué número mínimo de hipotecas deberíamos considerar en una muestra para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo en la estimación del capital medio sea de 4000€?** En este apartado, se nos pide hallar $n$ conocidos los siguientes datos: - Error máximo $E \le 4000$ - Desviación típica $\sigma = 10000$ - Nivel de confianza $95\% \implies z_{\alpha/2} = 1,96$ La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Despejamos $n$ de la fórmula del error: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{1,96 \cdot 10000}{4000} \right)^2 = \left( \frac{19600}{4000} \right)^2 = (4,9)^2 = 24,01$$ Como el número de hipotecas debe ser un número entero y queremos que el error sea **como máximo** de $4000$, debemos redondear siempre al entero superior (aunque el decimal sea pequeño) para garantizar que el error sea menor o igual al solicitado. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado de $n$ no es exacto, redondea siempre hacia arriba. Si eligieras $24$, el error sería ligeramente superior a $4000$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 25 \text{ hipotecas}}$$