Álgebra 2015 Andalucia
Optimización de inversión mediante programación lineal
EJERCICIO 1
(2.5 puntos) Se desea invertir 100000 € en dos productos financieros A y B que tienen una rentabilidad del 2% y del 2.5% respectivamente. Se sabe que el producto B exige una inversión mínima de 10000 € y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversión en B supere el triple de lo invertido en A. ¿Cuánto se debe invertir en cada producto para que el beneficio sea máximo y cuál sería dicho beneficio?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar las incógnitas y la función que queremos maximizar.
Definimos las variables:
- $x$: cantidad invertida en el producto A (en euros).
- $y$: cantidad invertida en el producto B (en euros).
La rentabilidad (beneficio) de cada producto es el 2% para A y el 2.5% para B. Por tanto, la función de beneficio $f(x, y)$ que queremos maximizar es:
$$f(x, y) = 0.02x + 0.025y$$
💡 **Tip:** Recuerda que el porcentaje se traduce a decimal dividiendo por 100 ($2\% = 0.02$ y $2.5\% = 0.025$).
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
Traducimos las condiciones del enunciado a un sistema de inecuaciones lineales:
1. **Inversión total:** No se pueden invertir más de 100000 €.
$$x + y \le 100000$$
2. **Inversión mínima en B:** El producto B exige al menos 10000 €.
$$y \ge 10000$$
3. **Límite de riesgo:** La inversión en B no debe superar el triple de la de A.
$$y \le 3x$$
4. **No negatividad:** Las cantidades invertidas no pueden ser negativas.
$$x \ge 0$$
*(Nota: $y \ge 0$ ya está implícito en $y \ge 10000$)*.
El sistema de restricciones es:
$$\begin{cases} x + y \le 100000 \\ y \ge 10000 \\ y \le 3x \\ x \ge 0 \end{cases}$$
Paso 3
Representación de la región factible y cálculo de vértices
La región factible es el área sombreada que cumple todas las inecuaciones. Para encontrar el beneficio máximo, debemos identificar los vértices de esta región intersecando las rectas correspondientes.
- **Vértice A:** Intersección de $y = 10000$ y $y = 3x$.
$3x = 10000 \implies x = \frac{10000}{3} \approx 3333.33$
$A = (3333.33, 10000)$
- **Vértice B:** Intersección de $y = 10000$ y $x + y = 100000$.
$x + 10000 = 100000 \implies x = 90000$
$B = (90000, 10000)$
- **Vértice C:** Intersección de $x + y = 100000$ y $y = 3x$.
$x + 3x = 100000 \implies 4x = 100000 \implies x = 25000$
$y = 3(25000) = 75000$
$C = (25000, 75000)$
Visualmente, la región queda definida por estos puntos:
"interactive": {
"kind": "desmos",
"data": {
"expressions": [
{
"id": "r1",
"latex": "x + y \\le 100000",
"color": "#93c5fd"
},
{
"id": "r2",
"latex": "y \\ge 10000",
"color": "#93c5fd"
},
{
"id": "r3",
"latex": "y \\le 3x",
"color": "#93c5fd"
},
{
"id": "vA",
"latex": "(3333.33, 10000)",
"showLabel": true,
"label": "A"
},
{
"id": "vB",
"latex": "(90000, 10000)",
"showLabel": true,
"label": "B"
},
{
"id": "vC",
"latex": "(25000, 75000)",
"showLabel": true,
"label": "C"
}
],
"bounds": {
"left": -10000,
"right": 110000,
"bottom": -10000,
"top": 110000
}
}
}
Paso 4
Evaluación de la función objetivo y solución final
Evaluamos el beneficio $f(x, y) = 0.02x + 0.025y$ en cada uno de los vértices hallados:
- **En A** $(3333.33, 10000)$:
$f(3333.33, 10000) = 0.02(3333.33) + 0.025(10000) = 66.67 + 250 = 316.67 \text{ €}$
- **En B** $(90000, 10000)$:
$f(90000, 10000) = 0.02(90000) + 0.025(10000) = 1800 + 250 = 2050 \text{ €}$
- **En C** $(25000, 75000)$:
$f(25000, 75000) = 0.02(25000) + 0.025(75000) = 500 + 1875 = 2375 \text{ €}$
Comparando los valores, el beneficio máximo es de **2375 €**, que se obtiene invirtiendo 25000 € en el producto A y 75000 € en el producto B.
💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, si la región factible es cerrada y acotada, el máximo o mínimo siempre se encuentra en uno de sus vértices.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Invertir: } 25000 \text{ € en A y } 75000 \text{ € en B. Beneficio máximo: } 2375 \text{ €}}$$