Estudio de una función a trozos: continuidad, derivabilidad y representación

**a) (0.5 puntos) Estudie la continuidad de la función.** La función $f(x)$ está compuesta por dos funciones polinómicas. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio, por lo que solo debemos estudiar el punto de salto entre ramas, que es $x = 2$. Para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. **Valor de la función:** Usamos la primera rama (donde está el $\le$): $$f(2) = -(2)^2 + 2 + 6 = -4 + 2 + 6 = 4.$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 2^-$):** $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} (-x^2 + x + 6) = 4.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 2^+$):** $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4.$$ Como $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 4$, la función es continua en $x = 2$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si no hay "huecos" ni saltos. Si los límites laterales coinciden con el valor de la función, el trazo es continuo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R}}$$

**b) (0.5 puntos) Analice la derivabilidad de la función.** Primero, derivamos las ramas de la función para $x \neq 2$: $$f'(x) = \begin{cases} -2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Para que la función sea derivable en $x = 2$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. **Derivada por la izquierda:** $$f'(2^-) = -2(2) + 1 = -4 + 1 = -3.$$ 2. **Derivada por la derecha:** $$f'(2^+) = 1.$$ Como $f'(2^-) \neq f'(2^+)$ (pues $-3 \neq 1$), la función **no es derivable en $x = 2$**. 💡 **Tip:** Gráficamente, esto significa que en $x = 2$ la función tiene un "pico" o punto anguloso, no una curva suave. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{2\}}$$

**c) (1.5 puntos) Represéntela gráficamente, determinando los extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de corte con los ejes.** Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$ y añadimos el punto de cambio de rama: - En la primera rama ($x < 2$): $-2x + 1 = 0 \implies x = 1/2$. - En la segunda rama ($x > 2$): $f'(x) = 1$, que nunca es cero. Analizamos el signo de $f'(x)$ en la recta real: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1/2) & 1/2 & (1/2, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Extremos relativos:** - **Máximo relativo:** En $x = 1/2$, $y = f(1/2) = -(1/2)^2 + (1/2) + 6 = -1/4 + 2/4 + 24/4 = 25/4 = 6.25$. El punto es **$(0.5, 6.25)$**. - **Mínimo relativo:** En $x = 2$, aunque no es derivable, hay un cambio de decreciente a creciente. $y = f(2) = 4$. El punto es **$(2, 4)$**. 💡 **Tip:** Un extremo relativo puede ocurrir en puntos donde la derivada es cero o en puntos donde la función no es derivable si hay un cambio de crecimiento a decrecimiento (o viceversa).

Calculamos las intersecciones con los ejes: **Corte con el eje $Y$ ($x = 0$):** $x = 0$ pertenece a la primera rama ($0 \le 2$): $$f(0) = -0^2 + 0 + 6 = 6 \implies \mathbf{(0, 6)}$$ **Corte con el eje $X$ ($f(x) = 0$):** - Rama 1 ($x \le 2$): $-x^2 + x + 6 = 0$. Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-1)(6)}}{2(-1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{-2} = \frac{-1 \pm 5}{-2}$$ Resultan $x = -2$ y $x = 3$. Como solo $x = -2 \le 2$, el punto es **$(-2, 0)$**. - Rama 2 ($x > 2$): $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Como $-2$ no es mayor que 2, no hay corte en esta rama. ✅ **Resultado (Cortes):** $$\boxed{\text{Eje Y: } (0, 6) \quad \text{Eje X: } (-2, 0)}$$

Con toda la información recopilada, podemos trazar la gráfica: - Una parábola cóncava hacia abajo desde $(-\infty, 2]$ con vértice en $(0.5, 6.25)$. - Una semirrecta con pendiente positiva desde $(2, 4)$ hacia la derecha. Como resumen de los apartados anteriores: - Crecimiento: $(-\infty, 0.5) \cup (2, +\infty)$. - Decrecimiento: $(0.5, 2)$. - Máximo en $(0.5, 6.25)$. - Mínimo en $(2, 4)$.