Probabilidad: Teorema de la Probabilidad Total y Bayes

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen: - $A$: La causa de la enfermedad es A. - $B$: La causa de la enfermedad es B. - $C$: La causa de la enfermedad es C. - $H$: El enfermo necesita hospitalización. - $\bar{H}$: El enfermo no necesita hospitalización (suceso contrario a $H$). Del enunciado extraemos las probabilidades de las causas: $P(A) = 0.3$ $P(B) = 0.2$ $P(C) = 0.5$ Y las probabilidades condicionadas de hospitalización: $P(H|A) = 0.20$ $P(H|B) = 0.55$ $P(H|C) = 0.10$

Representamos la situación con un diagrama de árbol para visualizar todas las posibilidades y sus probabilidades asociadas:

**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo con la citada enfermedad no necesite hospitalización?** Para calcular la probabilidad de no necesitar hospitalización ($P(\bar{H})$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de no ser hospitalizado por cada una de las tres causas posibles: $$P(\bar{H}) = P(A) \cdot P(\bar{H}|A) + P(B) \cdot P(\bar{H}|B) + P(C) \cdot P(\bar{H}|C)$$ Calculamos las probabilidades de no hospitalización condicionadas (el complementario): - $P(\bar{H}|A) = 1 - P(H|A) = 1 - 0.20 = 0.80$ - $P(\bar{H}|B) = 1 - P(H|B) = 1 - 0.55 = 0.45$ - $P(\bar{H}|C) = 1 - P(H|C) = 1 - 0.10 = 0.90$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{H}) = (0.3 \cdot 0.80) + (0.2 \cdot 0.45) + (0.5 \cdot 0.90)$$ $$P(\bar{H}) = 0.24 + 0.09 + 0.45 = 0.78$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{H}) = 0.78}$$

**b) (1 punto) Si un enfermo está hospitalizado debido a esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que la causa haya sido A?** Nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que el enfermo está hospitalizado ($H$), calcular la probabilidad de que la causa sea $A$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|H) = \frac{P(A \cap H)}{P(H)} = \frac{P(A) \cdot P(H|A)}{P(H)}$$ Primero necesitamos $P(H)$. Como ya conocemos $P(\bar{H}) = 0.78$, podemos calcularla por el suceso contrario: $$P(H) = 1 - P(\bar{H}) = 1 - 0.78 = 0.22$$ Ahora aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(A|H) = \frac{0.3 \cdot 0.20}{0.22}$$ $$P(A|H) = \frac{0.06}{0.22}$$ Simplificando la fracción: $$P(A|H) = \frac{6}{22} = \frac{3}{11} \approx 0.2727$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (hospitalizado) y queremos saber la probabilidad de una de las causas iniciales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|H) = \frac{3}{11} \approx 0.2727}$$