Contraste de hipótesis para la media

**Plantee un contraste de hipótesis $(H_0 : \mu \ge 110)$, con un nivel de significación del 5%, determine la región crítica de este contraste y, utilizando ésta, razone si con ese nivel se puede aceptar que los biólogos del parque están en lo cierto.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el peso de los pájaros (en gramos). Sabemos que $X \sim N(\mu, 6)$. Identificamos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Media muestral observada: $\bar{x} = 108 \text{ g}$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 6 \text{ g}$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$ Planteamos el contraste de hipótesis. Como los biólogos sugieren que el peso **ha disminuido**, el contraste es unilateral a la izquierda: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu \ge 110$ (El peso no ha disminuido). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \lt 110$ (El peso ha disminuido). 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) suele ser la afirmación de "no cambio" o el valor histórico, mientras que la alternativa ($H_1$) es lo que se desea probar (la sospecha de los biólogos). $$\boxed{H_0: \mu \ge 110; \quad H_1: \mu \lt 110}$$

Para realizar el contraste, necesitamos conocer cómo se distribuye la media de las muestras de tamaño $n=100$. Según el Teorema Central del Límite, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución Normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Bajo el supuesto de que la hipótesis nula es cierta (usando el valor crítico $\mu = 110$): $$\bar{X} \sim N\left(110, \frac{6}{\sqrt{100}}\right) = N(110, 0.6)$$ La desviación típica de la media muestral (error típico) es: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{6}{10} = 0.6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica de la media muestral siempre es menor que la de la población original: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

La región crítica ($RC$) es el conjunto de valores de la media muestral para los cuales rechazamos $H_0$. Como es un contraste unilateral izquierdo con $\alpha = 0.05$, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$p(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.05$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$ para un área acumulada de $1 - 0.05 = 0.95$: $$p(Z \le z_{\alpha}) = 0.95 \implies z_{\alpha} = 1.645$$ Por tanto, el valor crítico tipificado es $-1.645$. Ahora pasamos este valor a la escala de nuestra variable $\bar{X}$: $$\bar{x}_c = \mu - z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 110 - 1.645 \cdot 0.6$$ $$\bar{x}_c = 110 - 0.987 = 109.013$$ La región crítica está formada por los valores menores que $109.013$: $$\text{Región Crítica: } RC = (-\infty, 109.013)$$ ✅ **Resultado (Región Crítica):** $$\boxed{RC = \{\bar{x} \in \mathbb{R} \mid \bar{x} \lt 109.013\}}$$

Comparamos la media obtenida en la muestra con la región crítica para decidir si los biólogos tienen razón. Media muestral observada: **$\bar{x} = 108$**. Observamos que: $$108 \lt 109.013$$ Esto significa que **$\bar{x} = 108 \in RC$** (el valor cae dentro de la zona de rechazo). **Razonamiento:** Al caer el valor de la muestra en la región crítica, tenemos evidencias estadísticas suficientes para **rechazar la hipótesis nula ($H_0$)** y aceptar la hipótesis alternativa ($H_1$) con un nivel de significación del 5%. **Conclusión:** Se puede aceptar que los biólogos están en lo cierto: el peso medio de los pájaros de esta especie ha disminuido por debajo de los 110 g. 💡 **Tip:** Si el valor experimental cae en la región crítica, el resultado es "estadísticamente significativo", lo que nos permite apoyar la nueva hipótesis. ✅ **Conclusión final:** $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0. \text{ Los biólogos están en lo cierto.}}$$