Contraste de hipótesis para la media

Para resolver este ejercicio de inferencia estadística, primero debemos extraer los datos proporcionados en el enunciado y definir la variable: * Variable $X$: Beneficio anual de una tienda (en millones de euros). * La población sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. * Media poblacional bajo la hipótesis (afirmación): $\mu_0 = 0,6$ millones €. * Desviación típica poblacional: $\sigma = 0,04$ millones €. * Tamaño de la muestra: $n = 64$ tiendas. * Media muestral obtenida: $\bar{x} = 0,59$ millones €. 💡 **Tip:** Es fundamental distinguir entre la media de la población (teórica o afirmada) y la media de la muestra (datos reales observados).

La cadena afirma que el beneficio es de **al menos** $0,6$ millones. Esto significa que la hipótesis nula ($H_0$) contendrá el signo de igualdad y la dirección de la afirmación, mientras que la hipótesis alternativa ($H_1$) será lo que queremos demostrar si sospechamos que la cadena miente (que el beneficio es menor). Se trata de un **contraste unilateral de una cola (izquierda)**: $$H_0: \mu \ge 0,6 \quad (\text{La afirmación es cierta})$$ $$H_1: μ \lt 0,6 \quad (\text{La afirmación es falsa, el beneficio es menor})$$ 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, $H_1$ suele indicar la sospecha o el cambio que queremos detectar. Como la duda es si el beneficio llega al mínimo de $0,6$, miramos hacia la izquierda (valores menores).

Calculamos el valor del estadístico $Z$ (la puntuación típica de nuestra muestra) utilizando la fórmula: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0,59 - 0,6}{0,04 / \sqrt{64}} = \frac{-0,01}{0,04 / 8} = \frac{-0,01}{0,005} = -2$$ Este valor, $Z_{exp} = -2$, nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra media muestral de la media afirmada. $$\boxed{Z_{exp} = -2}$$

**a) Con una significación del $10\%$, ¿se puede aceptar la afirmación de la cadena?** Con un nivel de significación $\alpha = 0,10$, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ que deja un área de $0,10$ a la izquierda en la normal estándar $N(0,1)$. Buscamos en la tabla de la normal el valor que deja a su derecha un $0,90$ (o a su izquierda un $0,10$): $$p(Z \le z_{\alpha}) = 0,90 \implies z_{\alpha} = 1,282$$ Como es un contraste de cola izquierda, el valor crítico es **$-1,282$**. La región de aceptación es $(-1,282, +\infty)$ y la de rechazo es $(-\infty, -1,282)$. **Comparación:** Dado que $Z_{exp} = -2$ es menor que $-1,282$, el valor cae en la **región de rechazo**. 💡 **Tip:** Si el estadístico calculado es más extremo que el valor crítico, rechazamos la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la afirmación con un } 10\% \text{ de significación.}}$$

**b) ¿Qué ocurre si el nivel de significación es igual a $0,005$?** Ahora cambiamos el nivel de exigencia. Con $\alpha = 0,005$, buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha}$ para la cola izquierda. Buscamos en la tabla el valor tal que: $$p(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0,005 = 0,995$$ Mirando las tablas de la normal estándar, el valor para $0,995$ es aproximadamente $2,575$. Por tanto, el valor crítico para nuestro contraste a la izquierda es **$-2,575$**. **Comparación:** Ahora, nuestro estadístico $Z_{exp} = -2$ es mayor que $-2,575$ (está a su derecha). Por lo tanto, el valor **cae en la región de aceptación**. 💡 **Tip:** Al disminuir el nivel de significación (hacerlo más pequeño), la región de rechazo se encoge, lo que hace que sea "más difícil" rechazar la afirmación original. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Con } \alpha = 0,005 \text{, sí se acepta la afirmación de la cadena.}}$$