Inferencia estadística: Media muestral e intervalo de confianza

**a) ¿Cuál es la media muestral?** En un intervalo de confianza para la media de una distribución normal, el intervalo es siempre simétrico respecto a la media muestral $\bar{x}$. Por tanto, la media es el punto medio del intervalo dado $[2941,2, 3058,8]$. Calculamos la media aritmética de los extremos: $$\bar{x} = \frac{2941,2 + 3058,8}{2}$$ $$\bar{x} = \frac{6000}{2} = 3000$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en cualquier intervalo de confianza del tipo $[\bar{x} - E, \bar{x} + E]$, la media muestral se encuentra exactamente en el centro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 3000 \text{ kilocalorías}}$$

**b) ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?** Primero identificamos los datos conocidos: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 300$ - Margen de error ($E$): Es la mitad de la amplitud del intervalo. Calculamos el error: $$E = \frac{3058,8 - 2941,2}{2} = \frac{117,6}{2} = 58,8$$ La fórmula del error para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores para despejar el valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$58,8 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{300}{\sqrt{100}}$$ $$58,8 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{300}{10}$$ $$58,8 = z_{\alpha/2} \cdot 30$$ $$z_{\alpha/2} = \frac{58,8}{30} = 1,96$$ 💡 **Tip:** El error $E$ representa la distancia máxima que esperamos que haya entre la media de la muestra y la media real de la población.

Una vez obtenido $z_{\alpha/2} = 1,96$, buscamos el nivel de confianza $(1-\alpha)$. En la tabla de la distribución normal $N(0,1)$, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ cumple que: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$$ Buscamos en la tabla el valor para $1,96$: $$p(Z \le 1,96) = 0,9750$$ Igualamos: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 0,9750$$ $$\frac{\alpha}{2} = 1 - 0,9750 = 0,025$$ $$\alpha = 0,025 \cdot 2 = 0,05$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha$: $$1 - 0,05 = 0,95 \rightarrow 95\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El nivel de confianza utilizado es del } 95\%}$$

**c) Con un nivel de confianza igual a $0,9$ y con la misma información muestral ¿cuál sería el correspondiente intervalo?** Para un nivel de confianza del $0,9$ ($90\%$), tenemos: $$1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,05$$ Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$$ Consultando las tablas de la normal (o por valores comunes conocidos), para una probabilidad de $0,95$, el valor de $z$ está entre $1,64$ y $1,65$: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ Calculamos el nuevo margen de error: $$E = 1,645 \cdot \frac{300}{\sqrt{100}} = 1,645 \cdot 30 = 49,35$$ El nuevo intervalo será $[\bar{x} - E, \bar{x} + E]$: $$I = [3000 - 49,35, 3000 + 49,35]$$ $$I = [2950,65, 3049,35]$$ 💡 **Tip:** Observa que al disminuir el nivel de confianza (de $95\%$ a $90\%$), el intervalo se vuelve más estrecho (menor error). ✅ **Resultado:** $$\boxed{I = [2950,65, 3049,35]}$$