Estudio de una función de gastos financieros

**a) ¿Cuándo los gastos son iguales a $400000$ euros? ¿Es $G(t)$ continua? Razonar la respuesta.** Primero, debemos identificar que la función $G(t)$ está expresada en **cientos de miles de euros**. Por tanto, $400.000$ euros equivalen a $G(t) = 4$. Debemos resolver la ecuación $G(t) = 4$ en cada una de las ramas de la función: 1. **En la primera rama** ($0 \le t \le 3$): $$4 - \frac{t}{3} = 4 \implies -\frac{t}{3} = 0 \implies t = 0$$ Como $t=0$ está en el intervalo $[0, 3]$, es una solución válida. 2. **En la segunda rama** ($t \gt 3$): $$\frac{5t - 3}{t + 1} = 4 \implies 5t - 3 = 4(t + 1)$$ $$5t - 3 = 4t + 4 \implies 5t - 4t = 4 + 3 \implies t = 7$$ Como $t=7$ es mayor que $3$, es una solución válida. 💡 **Tip:** Siempre verifica que el valor obtenido de $t$ pertenezca al dominio de la rama en la que estás trabajando. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los gastos son de 400.000 euros a los } t=0 \text{ años y a los } t=7 \text{ años}}$$

Para que $G(t)$ sea continua en todo su dominio ($t \ge 0$), debemos comprobar el punto de salto entre ramas en $t = 3$. 1. **Valor de la función en $t = 3$:** $$G(3) = 4 - \frac{3}{3} = 4 - 1 = 3$$ 2. **Límite por la izquierda ($t \to 3^-$):** $$\lim_{t \to 3^-} G(t) = \lim_{t \to 3^-} \left( 4 - \frac{t}{3} \right) = 3$$ 3. **Límite por la derecha ($t \to 3^+$):** $$\lim_{t \to 3^+} G(t) = \lim_{t \to 3^+} \frac{5t - 3}{t + 1} = \frac{5(3) - 3}{3 + 1} = \frac{12}{4} = 3$$ Como $\lim_{t \to 3^-} G(t) = \lim_{t \to 3^+} G(t) = G(3) = 3$, la función es continua en $t = 3$. En el resto de sus dominios parciales, las funciones son continuas por ser un polinomio y una función racional cuyo denominador ($t+1$) solo se anula en $t=-1$ (fuera del dominio). ✅ **Resultado:** $$\boxed{G(t) \text{ es continua para todo } t \ge 0}$$

**b) ¿Cuándo crece $G(t)$? ¿Cuándo decrece $G(t)$? ¿Cuándo su valor es mínimo? Razonar la respuesta.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento calculamos la derivada $G'(t)$ en cada tramo: 1. **Tramo $0 \lt t \lt 3$:** $$G'(t) = \left(4 - \frac{t}{3}\right)' = -\frac{1}{3}$$ Como $G'(t) \lt 0$, la función es **decreciente** en el intervalo $(0, 3)$. 2. **Tramo $t \gt 3$:** Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$G'(t) = \frac{5(t + 1) - (5t - 3)(1)}{(t + 1)^2} = \frac{5t + 5 - 5t + 3}{(t + 1)^2} = \frac{8}{(t + 1)^2}$$ Como el numerador es positivo y el denominador está al cuadrado (siempre positivo), $G'(t) \gt 0$, por lo que la función es **creciente** en el intervalo $(3, +\infty)$. 💡 **Tip:** Recuerda que si la derivada es positiva la función crece, y si es negativa decrece. $$\boxed{\text{Decrece en } (0, 3) \text{ y crece en } (3, +\infty)}$$

Analizamos el cambio de signo de la derivada en la recta real: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline G'(t) & - & \nexists & +\\ \hline G(t) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ Como la función decrece hasta $t = 3$ y luego crece a partir de $t = 3$, existe un **mínimo absoluto** en $t = 3$. El valor del gasto mínimo es: $$G(3) = 3 \text{ (es decir, } 300.000 \text{ euros)}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El valor mínimo se alcanza a los } t=3 \text{ años}}$$

**c) ¿Qué ocurre cuando el número de años crece indefinidamente? ¿Cuándo alcanza $G(t)$ su máximo?** Para saber qué ocurre cuando el tiempo crece indefinidamente, calculamos el límite cuando $t \to +\infty$ utilizando la segunda rama: $$\lim_{t \to +\infty} G(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{5t - 3}{t + 1} = \lim_{t \to +\infty} \frac{5t}{t} = 5$$ Esto significa que los gastos tienden a estabilizarse en $5$ unidades, es decir, $500.000$ euros (asíntota horizontal). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los gastos tienden a } 500.000 \text{ euros cuando el tiempo crece indefinidamente}}$$

Analizamos los valores de la función para encontrar el máximo: - En $t=0$, $G(0) = 4$. - En el intervalo $(0, 3)$, la función decrece hasta $3$. - En el intervalo $(3, +\infty)$, la función crece desde $3$ hacia $5$. Como la función se acerca a $5$ pero nunca llega a tocar ese valor (es una asíntota), y $5$ es mayor que cualquier otro valor alcanzado (incluyendo el $G(0)=4$), la función **no alcanza un valor máximo absoluto** en un punto concreto, ya que siempre habrá un instante de tiempo posterior donde el gasto sea mayor y más cercano a 5. Sin embargo, si nos restringimos a puntos alcanzables, el valor más alto al inicio es $4$ ($t=0$), pero es superado por los valores del segundo tramo cuando $t$ es suficientemente grande (concretamente cuando $t > 7$, como vimos en el apartado a). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No alcanza un máximo absoluto ya que tiende a 5 sin llegar a tocarlo}}$$