Alquiler de apartamentos y sistema de ecuaciones

**a) Plantear el sistema de ecuaciones correspondiente.** Primero, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de apartamentos de $1$ dormitorio. - $y$: número de apartamentos de $2$ dormitorios. - $z$: número de apartamentos de $3$ dormitorios. Analizamos la información del enunciado para obtener las ecuaciones: 1. **Ingresos netos:** La inmobiliaria ingresa $300x + 425y + 550z$ euros brutos. Se descuenta el $54\%$ de gastos, por lo que queda un $100\% - 54\% = 46\%$ de beneficio neto. El ingreso total es $16629$ euros. $$0.46 \cdot (300x + 425y + 550z) = 16629$$ Dividiendo ambos lados por $0.46$: $$300x + 425y + 550z = \frac{16629}{0.46} = 36150$$ 2. **Relación entre tipos 1 y 2:** El número de apartamentos de $1$ dormitorio ($x$) es el $150\%$ de los de $2$ dormitorios ($y$). $$x = 1.5y \implies x - 1.5y = 0$$ 3. **Relación entre tipos 2, 3 y 1:** La suma de los de $2$ y $3$ dormitorios ($y+z$) supera en $3$ a los de $1$ dormitorio ($x$). $$y + z = x + 3 \implies -x + y + z = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para trabajar con porcentajes en ecuaciones, el $150\%$ se escribe como $1.5$ y el $46\%$ como $0.46$. ✅ **Sistema planteado:** $$\boxed{\begin{cases} 300x + 425y + 550z = 36150 \\ x - 1.5y = 0 \\ -x + y + z = 3 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuántos apartamentos de cada tipo alquila la empresa?** Para resolver el sistema, vamos a simplificar la primera ecuación dividiéndola por $25$ para trabajar con números más manejables: $$\frac{300}{25}x + \frac{425}{25}y + \frac{550}{25}z = \frac{36150}{25} \implies 12x + 17y + 22z = 1446$$ Ahora tenemos el sistema: $$\begin{cases} (1) \quad 12x + 17y + 22z = 1446 \\ (2) \quad x = 1.5y \\ (3) \quad -x + y + z = 3 \end{cases}$$ Utilizaremos el **método de sustitución**, ya que la variable $x$ ya está despejada en la segunda ecuación en función de $y$. 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones siempre que sea posible ayuda a evitar errores de cálculo con números grandes.

Sustituimos $x = 1.5y$ en las ecuaciones $(1)$ y $(3)$: En la ecuación $(3)$: $$-(1.5y) + y + z = 3 \implies -0.5y + z = 3 \implies z = 3 + 0.5y$$ Ahora sustituimos $x = 1.5y$ y $z = 3 + 0.5y$ en la ecuación $(1)$: $$12(1.5y) + 17y + 22(3 + 0.5y) = 1446$$ $$18y + 17y + 66 + 11y = 1446$$ Agrupamos los términos con $y$: $$(18 + 17 + 11)y + 66 = 1446$$ $$46y = 1446 - 66$$ $$46y = 1380$$ $$y = \frac{1380}{46} = 30$$ $$\boxed{y = 30}$$

Una vez hallado el valor de $y$, calculamos $x$ y $z$ utilizando las expresiones anteriores: Para $x$: $$x = 1.5y = 1.5 \cdot 30 = 45$$ Para $z$: $$z = 3 + 0.5y = 3 + 0.5 \cdot 30 = 3 + 15 = 18$$ **Comprobación:** - $x = 1.5(30) = 45$ (Correcto) - $30 + 18 = 45 + 3 \implies 48 = 48$ (Correcto) - $0.46(300 \cdot 45 + 425 \cdot 30 + 550 \cdot 18) = 0.46(13500 + 12750 + 9900) = 0.46(36150) = 16629$ (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{45 apartamentos de 1 dormitorio, 30 de 2 dormitorios y 18 de 3 dormitorios}}$$