Contraste de hipótesis sobre la media del nivel de colesterol

**a) Plantear el contraste adecuado. Indicar cuál es la región crítica.** Primero, extraemos la información del enunciado para definir nuestra variable y los parámetros conocidos: - Variable $X$: Nivel de colesterol en $\text{mg/dl}$. Se nos indica que sigue una distribución normal. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 24\text{ mg/dl}$. - Tamaño de la muestra: $n = 121$. - Media muestral obtenida: $\bar{x} = 195\text{ mg/dl}$. - Valor de referencia de la noticia: $\mu_0 = 190\text{ mg/dl}$. 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia, es fundamental distinguir entre los datos de la población ($\sigma$) y los datos de la muestra ($n, \bar{x}$).

La noticia afirma que el nivel de colesterol es, **como máximo**, de $190\text{ mg/dl}$. Esto significa que la media es menor o igual a $190$. Planteamos el contraste de hipótesis: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu \le 190$ (La afirmación de la noticia es cierta). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \gt 190$ (La media es superior a lo afirmado). Dado que la hipótesis alternativa contiene el signo $\gt$, estamos ante un **contraste unilateral de una cola (derecha)**. $$\boxed{H_0: \mu \le 190 \quad vs \quad H_1: \mu \gt 190}$$

Bajo la suposición de que $H_0$ es cierta, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu_0, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral (error típico): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{24}{\sqrt{121}} = \frac{24}{11} \approx 2,1818$$ La **región crítica** es el conjunto de valores de la media muestral que nos llevan a rechazar $H_0$. Al ser un contraste de cola derecha, la región crítica está formada por los valores superiores a un valor crítico $C$: $$RC = (C, +\infty)$$ donde $C = \mu_0 + z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. En términos del estadístico de contraste $Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$, la región crítica es: $$\boxed{RC = \{ z \mid z \gt z_{\alpha} \}}$$

**b) Con un nivel de significación del $4\%$, ¿se puede aceptar lo que se afirma en la noticia?** Para un nivel de significación $\alpha = 0,04$, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0,04 = 0,96$. Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$: - Para una probabilidad de $0,9599$, $z = 1,75$. - Para una probabilidad de $0,9608$, $z = 1,76$. Tomamos el valor más próximo: **$z_{0,04} \approx 1,75$**. Ahora calculamos el valor de nuestro estadístico de contraste con los datos de la muestra: $$z_{obs} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{195 - 190}{2,1818} = \frac{5}{2,1818} \approx 2,29$$ 💡 **Tip:** El estadístico de contraste nos dice a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra media muestral de la media teórica.

Comparamos el valor observado con el valor crítico: $$z_{obs} = 2,29 \gt z_{0,04} = 1,75$$ Como el valor observado cae dentro de la región crítica ($2,29 \in (1,75, +\infty)$), **rechazamos la hipótesis nula $H_0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Con } \alpha=4\% \text{ no se puede aceptar la noticia, ya que hay evidencia de que la media es superior.}}$$

**c) Y si el nivel de significación es del $0,5\%$, ¿qué se puede decir?** Ahora el nivel de significación es mucho más exigente: $\alpha = 0,005$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0,005 = 0,995$. Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor que corresponde exactamente a $0,995$ es la media entre $2,57$ y $2,58$: $$z_{0,005} = 2,575$$ Comparamos nuestro estadístico calculado anteriormente ($z_{obs} = 2,29$) con este nuevo valor crítico: $$z_{obs} = 2,29 \lt z_{0,005} = 2,575$$ En este caso, el valor observado **no cae** en la región crítica.

Al no pertenecer a la región crítica, **no tenemos evidencia suficiente para rechazar $H_0$** con este nivel de exigencia tan alto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Con } \alpha=0,5\% \text{ se puede aceptar la afirmación de la noticia (no se rechaza } H_0).}$$ 💡 **Tip:** Observa cómo la decisión puede cambiar según el nivel de significación: cuanto menor es $\alpha$, más difícil es rechazar la hipótesis nula, ya que exigimos una evidencia mucho más extrema.