Probabilidad en el triatlón: Mejora de marcas

**a) Hacer el diagrama de árbol.** Primero definimos los sucesos principales basados en la especialidad donde mejoran: - $B$: El atleta mejora en bicicleta. - $N$: El atleta mejora en natación. - $A$: El atleta mejora en atletismo. Y los sucesos relativos al sexo del atleta: - $M$: El atleta es mujer. - $H$: El atleta es hombre. Extraemos los datos del enunciado: - $P(B) = 0,60$ - $P(N) = 0,30$ - $P(A) = 0,10$ Probabilidades condicionadas: - $P(M|B) = 0,50 \implies P(H|B) = 0,50$ - $P(H|N) = 0,60 \implies P(M|N) = 0,40$ - $P(M|A) = 0,70 \implies P(H|A) = 0,30$ Representamos el diagrama de árbol: 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren las mujeres en el triatlón?** Para calcular la probabilidad de que un atleta que mejora sea mujer, $P(M)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de todas las rutas del árbol que terminan en el suceso $M$: $$P(M) = P(B) \cdot P(M|B) + P(N) \cdot P(M|N) + P(A) \cdot P(M|A)$$ Sustituimos los valores: $$P(M) = 0,60 \cdot 0,50 + 0,30 \cdot 0,40 + 0,10 \cdot 0,70$$ $$P(M) = 0,30 + 0,12 + 0,07 = 0,49$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad total consiste en "recorrer los caminos" multiplicando las probabilidades de las ramas y sumando los resultados de cada camino favorable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M) = 0,49}$$

**c) Elegido un atleta (hombre) al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mejore en natación?** En este apartado nos piden la probabilidad de que mejore en natación **sabiendo** que es hombre. Es decir, calculamos la probabilidad condicionada $P(N|H)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada (o **Teorema de Bayes**): $$P(N|H) = \frac{P(N \cap H)}{P(H)}$$ Primero, calculamos $P(H)$. Como ser hombre y ser mujer son sucesos contrarios: $$P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0,49 = 0,51$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (el camino "Natación y Hombre"): $$P(N \cap H) = P(N) \cdot P(H|N) = 0,30 \cdot 0,60 = 0,18$$ Finalmente, calculamos el cociente: $$P(N|H) = \frac{0,18}{0,51} = \frac{18}{51}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 3: $$\frac{18}{51} = \frac{6}{17} \approx 0,3529$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (es hombre) y queremos saber la probabilidad de una de las causas que lo han producido (natación). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N|H) = \frac{6}{17} \approx 0,3529}$$