Optimización del coste medio de producción

**a) Razonar cuándo crece y cuándo decrece $U(x)$.** En primer lugar, definimos la función de coste medio $U(x)$ dividiendo la función de coste total $C(x)$ por el número de unidades $x$: $$U(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{\frac{1}{3}x^2 + 6x + 192}{x}$$ Para facilitar la derivación, simplificamos la expresión dividiendo cada término del numerador por $x$: $$U(x) = \frac{1}{3}x + 6 + \frac{192}{x}$$ El dominio de esta función, según el enunciado, es $x \gt 0$. 💡 **Tip:** Simplificar la función antes de derivar suele ser más rápido que aplicar la regla del cociente para toda la expresión.

Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento), calculamos la derivada $U'(x)$: $$U'(x) = \left( \frac{1}{3}x + 6 + 192x^{-1} \right)' = \frac{1}{3} + 0 - 192x^{-2} = \frac{1}{3} - \frac{192}{x^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$\frac{1}{3} - \frac{192}{x^2} = 0 \implies \frac{1}{3} = \frac{192}{x^2} \implies x^2 = 3 \cdot 192 = 576$$ Resolviendo para $x$: $$x = \sqrt{576} = 24$$ (Descartamos la solución negativa $x = -24$ porque el dominio es $x \gt 0$). $$\boxed{x = 24 \text{ unidades}}$$

Analizamos el signo de $U'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x = 24$ dentro del dominio $(0, +\infty)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 24) & 24 & (24, +\infty)\\ \hline U'(x) & - & 0 & +\\ \hline U(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 24)$, si tomamos $x=1$: $U'(1) = \frac{1}{3} - 192 \lt 0$, por lo que **$U(x)$ decrece**. - En el intervalo $(24, +\infty)$, si tomamos $x=30$: $U'(30) = \frac{1}{3} - \frac{192}{900} \approx 0.33 - 0.21 \gt 0$, por lo que **$U(x)$ crece**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decrece en } (0, 24) \text{ y crece en } (24, +\infty)}$$

**b) Utilizar el cálculo anterior para deducir cuántas unidades hay que producir para que el coste medio por unidad sea mínimo ¿Cuál es dicho coste?** Basándonos en el estudio de la monotonía del apartado anterior, dado que la función decrece antes de $x=24$ y crece después, existe un **mínimo relativo** en $x = 24$. Para hallar el coste medio mínimo, sustituimos $x = 24$ en la función $U(x)$: $$U(24) = \frac{1}{3}(24) + 6 + \frac{192}{24}$$ $$U(24) = 8 + 6 + 8 = 22$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para confirmar que es un mínimo también podrías usar la segunda derivada $U''(x) = \frac{384}{x^3}$. Al ser $U''(24) \gt 0$, confirmamos el mínimo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben producir } 24 \text{ unidades para un coste medio mínimo de } 22 \text{ u.m.}}$$