Optimización de producción de motores

**a) Plantear el problema que permite determinar cuántos motores de cada tipo hay que ensamblar mensualmente para maximizar los beneficios globales.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de motores de moto ensamblados al mes. - $y$: número de motores de coche ensamblados al mes. Organizamos la información técnica y económica en una tabla para facilitar el planteamiento. Es fundamental trabajar en las mismas unidades, por lo que convertiremos las horas de disponibilidad en minutos: - Trabajo manual: $120 \text{ h} \times 60 = 7200 \text{ min}$. - Trabajo de máquina: $90 \text{ h} \times 60 = 5400 \text{ min}$. $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Tipo de Motor} & \text{T. Manual (min)} & \text{T. Máquina (min)} & \text{Beneficio (€)} \\ \hline \text{Moto (}x\text{)} & 60 & 20 & 1500 \\ \hline \text{Coche (}y\text{)} & 45 & 40 & 2000 \\ \hline \text{Disponibilidad} & 7200 & 5400 & \text{Maximizar} \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que todas las unidades de tiempo coincidan antes de escribir las inecuaciones.

A partir de la tabla, establecemos las restricciones (inecuaciones) y la función objetivo: **Restricciones:** 1. Trabajo manual: $60x + 45y \le 7200$ 2. Trabajo de máquina: $20x + 40y \le 5400$ 3. No negatividad: $x \ge 0, y \ge 0$ (no se pueden fabricar motores negativos). Podemos simplificar las inecuaciones dividiendo por sus máximos comunes divisores para facilitar el cálculo: - $60x + 45y \le 7200 \xrightarrow{/15} 4x + 3y \le 480$ - $20x + 40y \le 5400 \xrightarrow{/20} x + 2y \le 270$ **Función Objetivo:** Queremos maximizar el beneficio total mensual $B(x, y)$: $$B(x, y) = 1500x + 2000y$$ ✅ **Resultado del planteamiento:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Maximizar } & B(x, y) = 1500x + 2000y \\ \text{Sujeto a: } & 4x + 3y \le 480 \\ & x + 2y \le 270 \\ & x, y \ge 0 \end{aligned}}$$

**b) Representar la región factible, hallar las cantidades mensuales que se deben ensamblar para maximizar beneficios y determinar cuál es el beneficio máximo.** Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones: 1. $r_1: 4x + 3y = 480$. Puntos de corte: $(0, 160)$ y $(120, 0)$. 2. $r_2: x + 2y = 270$. Puntos de corte: $(0, 135)$ y $(270, 0)$. La región factible es el polígono formado por la intersección de los semiplanos definidos por las inecuaciones en el primer cuadrante.

Los vértices de la región factible son los puntos donde se cruzan las restricciones. Los localizamos: - **O**: El origen $(0, 0)$. - **A**: Intersección de $r_2$ con el eje $Y$. Si $x=0$ en $x + 2y = 270 \implies y = 135$. Punto $\mathbf{A(0, 135)}$. - **B**: Intersección de $r_1$ con el eje $X$. Si $y=0$ en $4x + 3y = 480 \implies x = 120$. Punto $\mathbf{B(120, 0)}$. - **C**: Intersección de $r_1$ y $r_2$: $$\begin{cases} 4x + 3y = 480 \\ x + 2y = 270 \implies x = 270 - 2y \end{cases}$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$4(270 - 2y) + 3y = 480 \implies 1080 - 8y + 3y = 480$$ $$-5y = -600 \implies y = 120$$ Sustituyendo $y$ para hallar $x$: $$x = 270 - 2(120) = 30$$ Punto $\mathbf{C(30, 120)}$.

Evaluamos $B(x, y) = 1500x + 2000y$ en cada vértice para encontrar el máximo: - $B(0, 0) = 1500(0) + 2000(0) = 0$ € - $B(120, 0) = 1500(120) + 2000(0) = 180\,000$ € - $B(0, 135) = 1500(0) + 2000(135) = 270\,000$ € - $B(30, 120) = 1500(30) + 2000(120) = 45\,000 + 240\,000 = 285\,000$ € El valor máximo se alcanza en el punto $C(30, 120)$. 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal con región factible acotada, el óptimo siempre se encuentra en uno de los vértices del polígono. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben ensamblar 30 motores de moto y 120 de coche para un beneficio máximo de 285.000 €}}$$