Inferencia estadística: Contraste de hipótesis y tamaño de muestra

**a) Con una significación del $3\%$, ¿este estudio muestral permite aceptar la afirmación de que la dieta ha sido efectiva y que el porcentaje de niños con sobrepeso se ha reducido?** En primer lugar, definimos las hipótesis del contraste. Queremos comprobar si la proporción de sobrepeso $p$ ha disminuido respecto al valor inicial $p_0 = 0,496$ ($49,6\%$). - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \ge 0,496$. (La dieta no ha sido efectiva o el porcentaje no ha bajado). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \lt 0,496$. (La dieta ha sido efectiva y el porcentaje se ha reducido). Se trata de un **contraste unilateral de una cola (izquierda)**, ya que buscamos evidencia de una disminución. 💡 **Tip:** La hipótesis alternativa $H_1$ siempre es lo que queremos demostrar (en este caso, la efectividad de la dieta).

Extraemos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 800$ - Número de casos con sobrepeso: $x = 350$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{350}{800} = 0,4375$ Bajo la hipótesis nula, el estadístico de contraste sigue una distribución normal $N(0,1)$ y se calcula como: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0,4375 - 0,496}{\sqrt{\frac{0,496 \cdot (1 - 0,496)}{800}}} = \frac{-0,0585}{\sqrt{\frac{0,496 \cdot 0,504}{800}}}$$ $$Z = \frac{-0,0585}{\sqrt{0,00031248}} = \frac{-0,0585}{0,017677} \approx -3,31$$ $$\boxed{Z_{calc} \approx -3,31}$$

El nivel de significación es $\alpha = 0,03$ ($3\%$). Al ser un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,03$. Esto equivale a buscar en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea $1 - 0,03 = 0,97$: $$P(Z \le z_{0,03}) = 0,97 \implies z_{0,03} \approx 1,88$$ Por tanto, el valor crítico es **$-1,88$**. La región de rechazo son los valores de $Z$ menores que $-1,88$. Comparamos: $$Z_{calc} = -3,31 \lt -1,88$$ Como el valor calculado cae en la **región de rechazo**, rechazamos $H_0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, el estudio permite aceptar que la dieta ha sido efectiva con una significación del 3\%}}$$

**b) Con un nivel de confianza igual a $0,97$, ¿de qué tamaño debe ser la muestra para, con un error máximo del $3\%$, hacer una estimación de la proporción poblacional de niños con sobrepeso? Suponer que no tenemos datos poblacionales ni muestrales.** Para calcular el tamaño de la muestra $n$, utilizamos la fórmula del error máximo para una proporción: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$ Donde: - Error máximo admisible: $E = 0,03$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03 \implies \alpha/2 = 0,015$. - Valor crítico $z_{\alpha/2}$: Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,985$. En las tablas, obtenemos **$z_{\alpha/2} = 2,17$**. - Al no tener datos previos de $p$, nos ponemos en el **caso más desfavorable** (máxima varianza), que es $p = q = 0,5$. Sustituimos: $$n = \frac{2,17^2 \cdot 0,5 \cdot 0,5}{0,03^2} = \frac{4,7089 \cdot 0,25}{0,0009} = \frac{1,177225}{0,0009} \approx 1308,03$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos siempre al alza. 💡 **Tip:** Si no conoces $p$ ni $\hat{p}$, usa siempre $p=0,5$ para garantizar que el error no supere el límite en ningún caso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 1309 \text{ escolares}}$$