Probabilidad y Estadística 2015 Canarias
Media muestral, error y tamaño de la muestra
2. En una empresa se quiere racionalizar el gasto en teléfono móvil de sus agentes comerciales. Para ello se hace un estudio sobre una muestra de dichos agentes que permite hacer la siguiente afirmación: “con una confianza del $95\%$, la media del gasto mensual en teléfono móvil está entre $199,71$ y $220,29$ euros”.
Suponiendo que el gasto en teléfono móvil es una variable normal:
a) Calcular el dato muestral y el error cometido en la estimación.
b) Si la desviación típica es de $42$ euros, ¿de qué tamaño es la muestra?
Paso 1
Cálculo de la media muestral
**a) Calcular el dato muestral y el error cometido en la estimación.**
En un intervalo de confianza para la media de una población normal, la media muestral $\bar{x}$ es el punto medio de dicho intervalo.
Dado que el intervalo es $(199,71, 220,29)$, calculamos el valor central sumando los extremos y dividiendo entre dos:
$$\bar{x} = \frac{199,71 + 220,29}{2}$$
$$\bar{x} = \frac{420}{2} = 210$$
💡 **Tip:** Recuerda que el intervalo de confianza siempre tiene la forma $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, por lo que la media siempre está justo en el centro.
✅ **Resultado (media muestral):**
$$\boxed{\bar{x} = 210 \text{ euros}}$$
Paso 2
Cálculo del error de estimación
El error de estimación $E$ es la diferencia entre el extremo superior del intervalo y la media muestral (o la mitad de la amplitud total del intervalo).
Calculamos el error:
$$E = 220,29 - \bar{x}$$
$$E = 220,29 - 210 = 10,29$$
También se puede calcular como la mitad de la longitud del intervalo:
$$E = \frac{220,29 - 199,71}{2} = \frac{20,58}{2} = 10,29$$
✅ **Resultado (error):**
$$\boxed{E = 10,29 \text{ euros}}$$
Paso 3
Determinación del valor crítico Z
**b) Si la desviación típica es de $42$ euros, ¿de qué tamaño es la muestra?**
Primero, necesitamos encontrar el valor crítico $Z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $95\%$.
1. El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0,95$.
2. Por tanto, el nivel de significación es $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$.
3. Calculamos $\alpha/2 = 0,025$.
4. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le Z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$.
Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,975$, el valor es:
$$Z_{\alpha/2} = 1,96$$
💡 **Tip:** El valor $1,96$ para el $95\%$ es uno de los más habituales en los exámenes, conviene recordarlo para ganar tiempo.
Paso 4
Cálculo del tamaño muestral
Utilizamos la fórmula del error para una media poblacional:
$$E = Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Donde:
- $E = 10,29$ (calculado en el apartado anterior)
- $Z_{\alpha/2} = 1,96$
- $\sigma = 42$
- $n$ es el tamaño de la muestra que queremos hallar.
Sustituimos los valores y despejamos $\sqrt{n}$:
$$10,29 = 1,96 \cdot \frac{42}{\sqrt{n}}$$
$$\sqrt{n} = \frac{1,96 \cdot 42}{10,29}$$
$$\sqrt{n} = \frac{82,32}{10,29} = 8$$
Para hallar $n$, elevamos al cuadrado ambos lados:
$$n = 8^2 = 64$$
💡 **Tip:** Si el resultado no fuera un número entero, siempre redondearíamos hacia arriba para garantizar que el error sea menor o igual al pedido.
✅ **Resultado (tamaño de la muestra):**
$$\boxed{n = 64 \text{ agentes}}$$