Evolución de una enfermedad

**a) Decir razonadamente si la función es creciente o decreciente.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento), debemos calcular la derivada de la función $N(t)$ en cada tramo del dominio: 1. Para el primer tramo $0 \le t \lt 5$: $$N_1(t) = -3t + 16 \implies N'_1(t) = -3$$ Como la derivada es negativa ($N'(t) \lt 0$), la función es **decreciente** en el intervalo $(0, 5)$. 2. Para el segundo tramo $t \gt 5$, usamos la regla de la derivada de un cociente: $$N_2(t) = \frac{4t - 17}{2t - 7} \implies N'_2(t) = \frac{4(2t - 7) - 2(4t - 17)}{(2t - 7)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$N'_2(t) = \frac{8t - 28 - 8t + 34}{(2t - 7)^2} = \frac{6}{(2t - 7)^2}$$ Dado que el numerador es positivo (6) y el denominador está elevado al cuadrado (siempre positivo), la derivada $N'_2(t) \gt 0$ para todo $t \gt 5$. Por tanto, la función es **creciente** en el intervalo $(5, +\infty)$. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \lt 0$ la función decrece y si $f'(x) \gt 0$ crece. Para derivar un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Antes de concluir, verificamos si hay un salto entre las ramas en $t=5$: - $N(5) = -3(5) + 16 = 1$ - $\lim_{t \to 5^+} \frac{4t - 17}{2t - 7} = \frac{4(5) - 17}{2(5) - 7} = \frac{3}{3} = 1$ Como ambos valores coinciden, la función es continua en $t=5$. Resumimos el comportamiento en una tabla: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,5) & 5 & (5, +\infty) \\ \hline N'(t) & - & \nexists & + \\ \hline N(t) & \searrow & 1 & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** La función es **decreciente en $(0, 5)$** y **creciente en $(5, +\infty)$**.

**b) ¿En qué momento se dan el máximo y el mínimo? ¿Cuántos enfermos hay en ese momento?** Analizando la monotonía del apartado anterior: - Al pasar de decreciente a creciente en $t=5$, existe un **mínimo relativo** en ese punto. El valor es $N(5) = 1$. Como es el valor más bajo de toda la función, es un **mínimo absoluto**. - El **máximo** debe buscarse en los extremos del dominio o en el comportamiento a largo plazo ($t \to +\infty$): 1. En el inicio ($t = 0$): $N(0) = -3(0) + 16 = 16$. 2. A largo plazo ($t \to +\infty$): $$\lim_{t \to +\infty} \frac{4t - 17}{2t - 7} = \frac{4}{2} = 2$$ Comparando los valores: $16 \gt 2$. Por tanto, el máximo se alcanza en el instante inicial. Traducimos a número de enfermos (recordando que el enunciado dice que $N(t)$ está en cientos): - **Máximo:** ocurre en $t = 0$ meses. Hay $16 \cdot 100 = \mathbf{1600}$ **enfermos**. - **Mínimo:** ocurre en $t = 5$ meses. Hay $1 \cdot 100 = \mathbf{100}$ **enfermos**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máx: } t=0 \text{ (1600 enfermos). Mín: } t=5 \text{ (100 enfermos).}}$$

**c) ¿En algún momento llega a extinguirse la enfermedad? Razona la respuesta.** La enfermedad se extinguiría si el número de enfermos llegara a ser cero, es decir, si $N(t) = 0$ para algún $t$. 1. Primer tramo ($0 \le t \le 5$): $$-3t + 16 = 0 \implies 3t = 16 \implies t = \frac{16}{3} \approx 5.33$$ Este valor no pertenece al intervalo $[0, 5]$, por lo que en este tramo no se anula. 2. Segundo tramo ($t \gt 5$): $$\frac{4t - 17}{2t - 7} = 0 \implies 4t - 17 = 0 \implies t = \frac{17}{4} = 4.25$$ Este valor no pertenece al intervalo $t \gt 5$, por lo que tampoco se anula aquí. Además, hemos visto que el valor mínimo absoluto de la función es 1 (100 enfermos) y que a partir de $t=5$ la función crece hacia una asíntota horizontal en $N=2$ (200 enfermos). Por tanto, la función siempre es $N(t) \ge 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, la enfermedad nunca llega a extinguirse ya que } N(t) \text{ nunca es } 0.}$$