Proyecciones de cine en Suiza

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan el número de proyecciones en cada idioma: - $x$: número de proyecciones en **alemán**. - $y$: número de proyecciones en **italiano**. - $z$: número de proyecciones en **francés**. El enunciado nos dice que el número total de proyecciones es $2000$, por lo tanto: $$x + y + z = 2000$$ 💡 **Tip:** En problemas de sistemas, el primer paso fundamental es identificar claramente qué representa cada variable y sus unidades.

Analizamos el resto de condiciones dadas: 1. "El $60\%$ de las películas en italiano ($0.6y$) más el $50\%$ de las películas en francés ($0.5z$) hacen las dos terceras partes de las proyecciones en alemán ($\frac{2}{3}x$)": $$0.6y + 0.5z = \frac{2}{3}x$$ Para simplificarla, podemos multiplicar toda la ecuación por $30$ (el mínimo común múltiplo de los denominadores y para quitar decimales): $$18y + 15z = 20x \implies 20x - 18y - 15z = 0$$ 2. "Por cada dos proyecciones en francés ($z$) se hacen $3$ proyecciones en alemán ($x$)": Esto es una proporción: $\frac{z}{x} = \frac{2}{3}$. Operando en cruz: $$3z = 2x \implies 2x - 3z = 0$$ 💡 **Tip:** Las frases del tipo "por cada A de X hay B de Y" se traducen siempre como una proporción $\frac{X}{Y} = \frac{A}{B}$ o simplemente asegurándote de que el producto cruzado sea lógico.

Agrupamos las tres ecuaciones obtenidas para formar el sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 2000 \\ 20x - 18y - 15z = 0 \\ 2x - 3z = 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 2000 \\ 20x - 18y - 15z = 0 \\ 2x - 3z = 0 \end{cases}}$$

**b) Calcular cuántas proyecciones se hacen en cada una de las lenguas.** Dado que la tercera ecuación es muy sencilla ($2x - 3z = 0$), utilizaremos el método de sustitución. 1. Despejamos $x$ de la tercera ecuación: $$2x = 3z \implies x = \frac{3}{2}z$$ 2. Sustituimos esta expresión de $x$ en la segunda ecuación para hallar una relación entre $y$ y $z$: $$20\left(\frac{3}{2}z\right) - 18y - 15z = 0$$ $$30z - 18y - 15z = 0 \implies 15z - 18y = 0$$ $$18y = 15z \implies y = \frac{15}{18}z = \frac{5}{6}z$$ 💡 **Tip:** Simplificar las fracciones intermedias (como pasar de $15/18$ a $5/6$) facilita enormemente los cálculos posteriores.

Ahora sustituimos $x = \frac{3}{2}z$ e $y = \frac{5}{6}z$ en la primera ecuación ($x + y + z = 2000$): $$\frac{3}{2}z + \frac{5}{6}z + z = 2000$$ Para sumar las fracciones buscamos el denominador común ($m.c.m(2, 6) = 6$): $$\frac{9z + 5z + 6z}{6} = 2000$$ $$\frac{20z}{6} = 2000 \implies 20z = 12000$$ $$z = \frac{12000}{20} = 600$$ Calculamos ahora el resto de valores: - $x = \frac{3}{2}(600) = 900$ - $y = \frac{5}{6}(600) = 500$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Alemán: } 900, \text{ Italiano: } 500, \text{ Francés: } 600}$$