Inferencia estadística: Proporción de hogares con ordenador

**a) A partir de la información recogida, ¿cuál sería la estimación puntual para la proporción de familias españolas que disponen de ordenador en casa?** Primero identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 20738$ hogares. - Número de hogares con ordenador (éxitos): $x = 8980$. La estimación puntual de la proporción poblacional ($p$) es la proporción obtenida en la muestra, denotada como $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{8980}{20738} \approx 0,4330$$ 💡 **Tip:** La estimación puntual es simplemente el valor observado en la muestra que usamos como nuestra "mejor suposición" para el valor real de toda la población. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\hat{p} = 0,4330 \text{ (o } 43,30\%\text{)}}$$

**b) A partir de la información recogida, construir un intervalo de confianza al $95\%$ para la proporción de familias españolas que disponen de ordenador en casa.** Para construir un intervalo de confianza para la proporción, usamos la fórmula: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Donde $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,4330 = 0,5670$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $95\%$ ($0,95$): 1. $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05$ 2. $\alpha/2 = 0,025$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,9750$. Mirando en la tabla de la distribución normal $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,9750$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$

Calculamos ahora el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,4330 \cdot 0,5670}{20738}}$$ Operamos paso a paso: $$E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,245511}{20738}} = 1,96 \cdot \sqrt{0,0000118387} \approx 1,96 \cdot 0,0034407$$ $$E \approx 0,00674$$ Finalmente, construimos el intervalo restando y sumando el error a la proporción muestral: - Límite inferior: $0,4330 - 0,00674 = 0,42626$ - Límite superior: $0,4330 + 0,00674 = 0,43974$ 💡 **Tip:** Un intervalo de confianza nos da un rango de valores entre los que esperamos que se encuentre el verdadero valor poblacional con una probabilidad determinada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0,4263 \, , \, 0,4397)}$$

**c) Si se mantiene la proporción muestral, ¿cuál es el número mínimo de hogares que habría que seleccionar para conseguir, con una confianza del $95\%$, que el error máximo en la estimación de dicha proporción sea inferior a $0,005$?** Nos piden hallar $n$ sabiendo que: - Error máximo $E < 0,005$. - Confianza $95\% \implies z_{\alpha/2} = 1,96$. - Proporción mantenida $\hat{p} = 0,4330$ y $\hat{q} = 0,5670$. La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$. Despejamos $n$: $$n = \frac{(z_{\alpha/2})^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1,96)^2 \cdot 0,4330 \cdot 0,5670}{(0,005)^2}$$ $$n = \frac{3,8416 \cdot 0,245511}{0,000025} = \frac{0,9431562576}{0,000025}$$ $$n \approx 37726,25$$ Como el número de hogares debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a $0,005$, debemos redondear siempre al alza. 💡 **Tip:** Siempre que calcules un tamaño muestral mínimo, redondea hacia arriba al entero más cercano para garantizar que se cumple la restricción del error. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 37727 \text{ hogares}}$$