Distribución normal del gasto eléctrico

**a) Elegida una familia canaria al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su gasto anual en electricidad sea superior a $630$ euros?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que representa el gasto anual en electricidad de una familia canaria. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(600, 50)$$ Donde: - Media $\mu = 600$ euros. - Desviación típica $\sigma = 50$ euros. Queremos calcular la probabilidad de que el gasto sea superior a $630$ euros, es decir, $P(X \gt 630)$. 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, para calcular probabilidades debemos transformar la variable $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la tipificación: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Procedemos a tipificar el valor $630$ para trabajar con la tabla de la normal estándar $Z$: $$P(X \gt 630) = P\left(Z \gt rac{630 - 600}{50} ight) = P\left(Z \gt rac{30}{50} ight) = P(Z \gt 0.6)$$ Como las tablas de la normal estándar suelen darnos la probabilidad acumulada hacia la izquierda, $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 0.6) = 1 - P(Z \le 0.6)$$ Buscando el valor $0.6$ en la tabla $N(0, 1)$, obtenemos $0.7257$. $$P(X \gt 630) = 1 - 0.7257 = 0.2743$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 630) = 0.2743}$$

**b) Elegidas $100$ familias canarias al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su gasto medio anual en electricidad sea como mucho $590$ euros?** En este apartado no trabajamos con una familia individual, sino con la **media de una muestra** de $n = 100$ familias. Si la población original sigue una $N(\mu, \sigma)$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal con la misma media pero con una desviación típica menor (error típico): $$\bar{X} \sim N\left(\mu, rac{\sigma}{\sqrt{n}} ight)$$ Calculamos los nuevos parámetros: - Media: $\mu_{\bar{x}} = 600$ - Desviación típica de la media: $\sigma_{ar{x}} = \dfrac{50}{\sqrt{100}} = \dfrac{50}{10} = 5$ Por tanto, la distribución de la media muestral es: $$\bar{X} \sim N(600, 5)$$ 💡 **Tip:** Siempre que nos hablen de la media de un grupo o muestra de tamaño $n$, debemos usar la desviación típica dividida por la raíz de $n$.

Queremos calcular la probabilidad de que la media sea "como mucho" $590$ euros, es decir, $P(\bar{X} \le 590)$. Tipificamos de nuevo: $$P(ar{X} \le 590) = P\left(Z \le rac{590 - 600}{5} ight) = P\left(Z \le rac{-10}{5} ight) = P(Z \le -2)$$ Debido a la simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de un valor negativo es igual a la probabilidad del extremo derecho positivo: $$P(Z \le -2) = P(Z \ge 2)$$ Aplicamos de nuevo el suceso contrario para poder usar la tabla: $$P(Z \ge 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscando en la tabla para $Z = 2.00$, encontramos el valor $0.9772$: $$P(ar{X} \le 590) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(ar{X} \le 590) = 0.0228}$$