Estudio de una función de peso y edad

**a) ¿Es el peso una función continua con la edad?** Para que la función sea continua en todo su dominio, debemos analizar especialmente el punto de salto entre las dos ramas, que es $t=3$. En los demás puntos, las funciones son continuas por ser una polinómica y una racional (cuyo denominador se anula en $t=-1$, que no pertenece a su intervalo de definición $t > 3$). Para que $P(t)$ sea continua en $t=3$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: 1. **Valor de la función en $t=3$:** Usamos la primera rama porque incluye el igual ($0 \le t \le 3$): $$P(3) = 50 - 3^2 = 50 - 9 = 41 \text{ toneladas}$$ 2. **Límite por la izquierda ($t \to 3^-$):** $$\lim_{t \to 3^-} P(t) = \lim_{t \to 3} (50 - t^2) = 50 - 9 = 41$$ 3. **Límite por la derecha ($t \to 3^+$):** $$\lim_{t \to 3^+} P(t) = \lim_{t \to 3} \left(56 - \frac{20t}{t + 1}\right) = 56 - \frac{20 \cdot 3}{3 + 1} = 56 - \frac{60}{4} = 56 - 15 = 41$$ Como $\lim_{t \to 3^-} P(t) = \lim_{t \to 3^+} P(t) = P(3) = 41$, la función es continua en $t=3$. 💡 **Tip:** Una función a trozos es continua en el punto de unión si al sustituir el valor de la variable en ambas ramas obtenemos el mismo resultado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua para todo } t \ge 0}$$

**b) Según vaya pasando el tiempo, ¿la plancha cada vez aguantará más o menos peso?** Para saber si aguanta más o menos peso, debemos estudiar si la función $P(t)$ es creciente o decreciente. Para ello, calculamos la derivada $P'(t)$ en cada tramo: **Primer tramo ($0 \lt t \lt 3$):** $$P'(t) = (50 - t^2)' = -2t$$ Como el tiempo $t$ es positivo, $-2t$ siempre será negativo ($P'(t) \lt 0$). Por tanto, la función **decrece** en este tramo. **Segundo tramo ($t \gt 3$):** Derivamos la función racional usando la regla del cociente: $$P'(t) = \left(56 - \frac{20t}{t + 1}\right)' = 0 - \frac{20(t+1) - 20t(1)}{(t+1)^2} = -\frac{20t + 20 - 20t}{(t+1)^2} = -\frac{20}{(t+1)^2}$$ Dado que $20$ es positivo y $(t+1)^2$ siempre es positivo, la fracción es positiva. Al tener el signo negativo delante, $P'(t) \lt 0$ para cualquier $t \gt 3$. Por tanto, la función también **decrece** en este tramo. 💡 **Tip:** Si la derivada de una función es negativa ($f'(x) \lt 0$) en un intervalo, la función es decreciente en ese intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La plancha cada vez aguantará menos peso, ya que la función es decreciente para todo } t \gt 0}$$

**c) Dicen que por mucho tiempo que transcurra, la plancha siempre aguantará más de $40$ toneladas, ¿estás de acuerdo?** Para responder a esta pregunta, debemos calcular el límite de la función cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to +\infty$), lo que nos indicará el peso mínimo hacia el que tiende a estabilizarse la plancha. Calculamos el límite en la segunda rama: $$\lim_{t \to +\infty} P(t) = \lim_{t \to +\infty} \left(56 - \frac{20t}{t + 1}\right)$$ Resolvemos el límite de la parte racional: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{20t}{t + 1} = 20$$ (Ya que los grados del numerador y denominador son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $20/1$). Por tanto: $$\lim_{t \to +\infty} P(t) = 56 - 20 = 36 \text{ toneladas}$$ Esto significa que, con el paso de los años, la capacidad de carga de la plancha se acercará a las $36$ toneladas. Como $36 \lt 40$, habrá un momento en el que la plancha aguantará menos de $40$ toneladas. 💡 **Tip:** El límite al infinito de una función nos indica su asíntota horizontal, es decir, el valor al que se estabiliza a largo plazo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No estoy de acuerdo, ya que a largo plazo el peso que soporta tiende a 36 toneladas.}}$$