Optimización de ingresos de un distribuidor de software

**d) ¿Cuáles pueden ser las distintas opciones de composición de su cartera? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de empresas clientes. - $y$: número de particulares clientes. A continuación, traducimos las condiciones del enunciado en un sistema de inecuaciones lineales (restricciones): 1. **Mínimo de empresas:** $x \ge 25$. 2. **Particulares respecto a empresas:** $y \ge 2x$. 3. **Límite global de clientes:** $x + y \le 120$. 4. **Condición de no negatividad:** Aunque $x \ge 25$ ya implica que es positivo, debemos recordar que $x, y \in \mathbb{Z}^+$, ya que no podemos tener clientes fraccionarios. 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, el primer paso es siempre identificar qué representan $x$ e $y$ y escribir las restricciones basándote en palabras clave como "al menos" ($\ge$), "máximo" ($\le$) o "el doble" ($2x$). El conjunto de soluciones factibles viene dado por el sistema: $$\begin{cases} x \ge 25 \\ y - 2x \ge 0 \\ x + y \le 120 \\ x, y \ge 0 \end{cases}$$

Para representar el conjunto de soluciones, dibujamos las rectas asociadas a cada inecuación y determinamos el semiplano correspondiente: - $r_1: x = 25$ (recta vertical). - $r_2: y = 2x$ (pasa por $(0,0)$ y $(40, 80)$). - $r_3: x + y = 120$ (pasa por $(0, 120)$ y $(120, 0)$). La intersección de estos semiplanos forma un triángulo. Los vértices de esta región factible son los puntos de corte de las rectas: 1. **Vértice A** (Corte de $x=25$ y $y=2x$): $x=25 \implies y = 2(25) = 50 \implies A(25, 50)$ 2. **Vértice B** (Corte de $x=25$ y $x+y=120$): $25+y=120 \implies y = 95 \implies B(25, 95)$ 3. **Vértice C** (Corte de $y=2x$ y $x+y=120$): $x+2x=120 \implies 3x=120 \implies x=40, y=80 \implies C(40, 80)$ Cualquier punto dentro de este triángulo con coordenadas enteras representa una opción válida para la cartera de clientes.

**e) ¿Cuál de esas combinaciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el año? ¿A cuánto ascenderían dichos ingresos?** La función de ingresos anuales que queremos maximizar es: $$f(x, y) = 386x + 229y$$ Evaluamos la función en los tres vértices calculados anteriormente: - En $A(25, 50)$: $f(25, 50) = 386(25) + 229(50) = 9650 + 11450 = 21100$ € - En $B(25, 95)$: $f(25, 95) = 386(25) + 229(95) = 9650 + 21755 = 31405$ € - En $C(40, 80)$: $f(40, 80) = 386(40) + 229(80) = 15440 + 18320 = 33760$ € 💡 **Tip:** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo o mínimo de la función objetivo siempre se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento que une dos vértices) de la región factible. $$\text{Máximo en } C(40, 80) = 33760 \text{ €}$$

Comparando los valores obtenidos, el ingreso máximo se produce con la combinación del vértice $C$. La combinación que proporciona los mayores ingresos es de **$40$ empresas y $80$ particulares**. Dichos ingresos ascienden a un total de **$33760$ euros**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximos ingresos: } 33760 \text{ € con } 40 \text{ empresas y } 80 \text{ particulares}}$$