Ecuaciones matriciales y dimensiones de matrices

**a) (1.7 puntos) Resuelva la ecuación matricial $C \cdot B \cdot X - 2A \cdot X = A^t$.** Para resolver la ecuación, primero debemos aislar la matriz $X$. Como $X$ aparece multiplicando por la derecha en ambos términos del primer miembro, podemos extraerla como factor común: $$(C \cdot B - 2A) \cdot X = A^t$$ Llamamos $D$ a la matriz resultante del paréntesis: $D = C \cdot B - 2A$. La ecuación queda como $D \cdot X = A^t$. Si la matriz $D$ tiene inversa ($|D| \neq 0$), despejamos $X$ multiplicando por $D^{-1}$ por la izquierda: $$X = D^{-1} \cdot A^t$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo. Al sacar factor común, si $X$ está a la derecha, debe quedar a la derecha del paréntesis.

Calculamos el producto $C \cdot B$. La matriz $C$ es de dimensión $2 \times 3$ y $B$ es $3 \times 2$, por lo que el resultado será una matriz $2 \times 2$: $$C \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento: - $m_{11} = 1\cdot 1 + 4\cdot 0 + 0\cdot 1 = 1$ - $m_{12} = 1\cdot(-1) + 4\cdot 2 + 0\cdot(-1) = -1 + 8 = 7$ - $m_{21} = 2\cdot 1 + (-3)\cdot 0 + 1\cdot 1 = 3$ - $m_{22} = 2\cdot(-1) + (-3)\cdot 2 + 1\cdot(-1) = -2 - 6 - 1 = -9$ $$C \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 3 & -9 \end{pmatrix}$$

Ahora calculamos $D = (C \cdot B) - 2A$. Primero obtenemos $2A$: $$2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & -6 \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta: $$D = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 3 & -9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 & 7-4 \\ 3-0 & -9-(-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{D = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}}$$

Para que exista $D^{-1}$, su determinante debe ser distinto de cero: $$|D| = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = (-1)\cdot(-3) - (3)\cdot(3) = 3 - 9 = -6$$ Como $|D| = -6 \neq 0$, existe la inversa. Calculamos la matriz adjunta y trasponemos: 1. Matriz de menores: $\begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ 2. Adjunta (cambiando signos según posición): $Adj(D) = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$ 3. Traspuesta de la adjunta: $Adj(D)^t = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$ (al ser simétrica, coincide). $$D^{-1} = \frac{1}{|D|} \cdot Adj(D)^t = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se halla rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de la secundaria, todo dividido por el determinante.

Calculamos $A^t$ (traspuesta de $A$): $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$$ Finalmente, multiplicamos $D^{-1} \cdot A^t$: $$X = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} (-3)\cdot 1 + (-3)\cdot 2 & (-3)\cdot 0 + (-3)\cdot (-3) \\ (-3)\cdot 1 + (-1)\cdot 2 & (-3)\cdot 0 + (-1)\cdot (-3) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -9 & 9 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3/2 & -3/2 \\ 5/6 & -1/2 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.8 puntos) Analice cuáles de las siguientes operaciones, sin efectuarlas, se pueden realizar y justifique las respuestas: $B \cdot C + 2A$, $A \cdot C + C$, $B \cdot C^t$, $C \cdot B - A$.** Analizamos las dimensiones: $A (2 \times 2)$, $B (3 \times 2)$ y $C (2 \times 3)$. 1. **$B \cdot C + 2A$**: - El producto $B(3 \times 2) \cdot C(2 \times 3)$ da una matriz $3 \times 3$. - Para sumar $2A$, esta debe ser de igual dimensión. $2A$ es $2 \times 2$. - **No se puede realizar** por dimensiones incompatibles en la suma. 2. **$A \cdot C + C$**: - El producto $A(2 \times 2) \cdot C(2 \times 3)$ da una matriz $2 \times 3$. - $C$ es $2 \times 3$. - **Sí se puede realizar** (las dimensiones coinciden). 3. **$B \cdot C^t$**: - $B$ es $3 \times 2$. - $C^t$ es $3 \times 2$ (traspuesta de $2 \times 3$). - Para multiplicar, el número de columnas de la primera (2) debe ser igual al de filas de la segunda (3). - **No se puede realizar**. 4. **$C \cdot B - A$**: - El producto $C(2 \times 3) \cdot B(3 \times 2)$ da una matriz $2 \times 2$. - $A$ es $2 \times 2$. - **Sí se puede realizar** (las dimensiones coinciden). 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices $M_{m\times n} \cdot P_{p\times q}$ se requiere $n=p$. Para sumar, las dimensiones deben ser idénticas.