Optimización del coste de producción de bombillas

El enunciado nos da la función de coste $C(x)$ y el intervalo de producción permitida: $$C(x) = 9000 + 0.08x + \frac{2000000}{x}$$ El dominio de definición está restringido por la capacidad de la fábrica: $x \in [1000, 6000]$. Para minimizar el coste, debemos encontrar los puntos críticos de la función (donde la derivada es cero) y estudiar su comportamiento en los extremos del intervalo. 💡 **Tip:** En problemas de optimización en un intervalo cerrado $[a, b]$, el mínimo absoluto puede estar en un punto crítico donde $f'(x)=0$ o en los extremos $a$ o $b$ del intervalo.

Calculamos la primera derivada $C'(x)$ para hallar los puntos críticos. Derivamos cada término por separado: - La derivada de una constante es 0: $(9000)' = 0$. - La derivada de $0.08x$ es $0.08$. - Para derivar $\frac{2000000}{x}$, recordamos que es equivalente a $2000000 \cdot x^{-1}$, por lo que su derivada es $-2000000 \cdot x^{-2} = -\frac{2000000}{x^2}$. Resultando: $$C'(x) = 0.08 - \frac{2000000}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de la potencia para fracciones: $\left(\frac{k}{x}\right)' = -\frac{k}{x^2}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $x$ que podrían ser máximos o mínimos: $$0.08 - \frac{2000000}{x^2} = 0$$ Despejamos $x^2$: $$0.08 = \frac{2000000}{x^2}$$ $$x^2 = \frac{2000000}{0.08}$$ $$x^2 = 25000000$$ Calculamos la raíz cuadrada: $$x = \pm \sqrt{25000000}$$ $$x = \pm 5000$$ Como el número de bombillas $x$ debe estar entre $1000$ y $6000$, solo tomamos el valor positivo: $$\boxed{x = 5000}$$

Para confirmar que en $x=5000$ hay un mínimo, estudiamos el signo de $C'(x)$ en el dominio propuesto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (1000, 5000) & 5000 & (5000, 6000) \\ \hline C'(x) & - & 0 & + \\ \hline C(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ **Justificación:** - Si $x=2000$: $C'(2000) = 0.08 - \frac{2000000}{4000000} = 0.08 - 0.5 = -0.42 \lt 0$ (decreciente). - Si $x=5500$: $C'(5500) = 0.08 - \frac{2000000}{30250000} \approx 0.08 - 0.066 = 0.014 \gt 0$ (creciente). Al ser decreciente antes de $5000$ y creciente después, confirmamos que existe un **mínimo relativo** en $x = 5000$. Dado que es el único punto crítico en el intervalo, será también el **mínimo absoluto**. 💡 **Tip:** También podrías usar la segunda derivada $C''(x) = \frac{4000000}{x^3}$. Como $C''(5000) \gt 0$, el punto es un mínimo.

Para responder a la segunda pregunta, calculamos el valor de la función de coste original en $x = 5000$: $$C(5000) = 9000 + 0.08(5000) + \frac{2000000}{5000}$$ $$C(5000) = 9000 + 400 + 400$$ $$C(5000) = 9800$$ Por último, comparamos con los extremos por seguridad: - $C(1000) = 9000 + 80 + 2000 = 11080$ €. - $C(6000) = 9000 + 480 + \frac{2000000}{6000} \approx 9480 + 333.33 = 9813.33$ €. El valor más bajo es efectivamente en $x=5000$. ✅ **Resultado final:** Para minimizar costes se deben producir **$\boxed{5000 \text{ bombillas}}$** diariamente y el coste será de **$\boxed{9800 \text{ euros}}$**.