Probabilidad: Uso de Redes Sociales

**a) (0.5 puntos) Halle el porcentaje de jóvenes de esa ciudad que usa ambas aplicaciones.** Primero, definimos los sucesos según el enunciado: - $F$: "El joven usa Facebook". - $W$: "El joven usa WhatsApp". Extraemos los datos proporcionados en términos de probabilidad: - $P(F) = 0.60$ - $P(W) = 0.80$ - $P(F \cap \bar{W}) = 0.04$ (Usa Facebook pero no WhatsApp) Para visualizar mejor las relaciones, completamos una tabla de contingencia. Sabemos que $P(F) = P(F \cap W) + P(F \cap \bar{W})$. Por tanto: $$P(F \cap W) = P(F) - P(F \cap \bar{W}) = 0.60 - 0.04 = 0.56$$ Completamos el resto de la tabla: $$\begin{array}{c|cc|c} & W & \bar{W} & \text{Total} \\\hline F & 0.56 & 0.04 & 0.60 \\ \bar{F} & 0.24 & 0.16 & 0.40 \\\hline \text{Total} & 0.80 & 0.20 & 1.00 \end{array}$$ El porcentaje que usa ambas aplicaciones es $P(F \cap W)$. 💡 **Tip:** En probabilidad, "pero no" se traduce como la intersección con el complementario: $P(A \cap \bar{B})$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{56\%}$$ (Ya que $0.56 \cdot 100 = 56\%$).

**b) (0.75 puntos) Calcule el porcentaje de esos jóvenes que usa WhatsApp pero no Facebook.** Nos piden la probabilidad de que un joven use WhatsApp y no use Facebook, es decir, $P(W \cap \bar{F})$. Utilizando los datos de la tabla de contingencia o la propiedad de la probabilidad de la diferencia: $$P(W \cap \bar{F}) = P(W) - P(F \cap W)$$ $$P(W \cap \bar{F}) = 0.80 - 0.56 = 0.24$$ Convertimos este valor a porcentaje multiplicando por 100: $$0.24 \cdot 100 = 24\%$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$. Siempre puedes despejar la parte que te falte si conoces el total del suceso. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{24\%}$$

**c) (0.75 puntos) Entre los jóvenes que usan WhatsApp, ¿qué porcentaje usa también Facebook?** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos saber la probabilidad de que usen Facebook sabiendo que ya están en el grupo de los que usan WhatsApp. La fórmula es: $$P(F|W) = \frac{P(F \cap W)}{P(W)}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(F|W) = \frac{0.56}{0.80}$$ $$P(F|W) = 0.7$$ Para dar el resultado en porcentaje: $$0.7 \cdot 100 = 70\%$$ 💡 **Tip:** La frase "Entre los que usan X..." nos indica que el suceso X es nuestra nueva base o condición (va en el denominador de la fórmula). ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{70\%}$$

**d) (0.5 puntos) Los sucesos “usar Facebook” y “usar WhatsApp”, ¿son independientes?** Dos sucesos $F$ y $W$ son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(F \cap W) = P(F) \cdot P(W)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(F) \cdot P(W) = 0.60 \cdot 0.80 = 0.48$$ Comparamos con la probabilidad de la intersección calculada en el apartado (a): $$P(F \cap W) = 0.56$$ Como $0.56 \neq 0.48$, la condición de independencia no se cumple. 💡 **Tip:** Si el hecho de que ocurra un suceso cambia la probabilidad del otro (como vimos en el apartado anterior, donde $P(F|W) = 0.7$ pero $P(F) = 0.6$), entonces los sucesos son dependientes. ✅ **Resultado (d):** $$\boxed{\text{No son independientes, son dependientes}}$$