Inferencia estadística y muestreo estratificado

**a) (1.5 puntos) La talla de los individuos de una población sigue una distribución Normal con desviación típica 8 cm y media desconocida. A partir de una muestra aleatoria se ha obtenido un intervalo de confianza al 95% para estimar la talla media poblacional, que ha resultado ser (164.86, 171.14) en cm. Calcule la talla media de la muestra y el tamaño muestral mínimo necesario para reducir a la mitad el error máximo de estimación anterior.** En un intervalo de confianza para la media de una distribución Normal, la media muestral $\bar{x}$ coincide con el punto medio del intervalo. Dados los extremos del intervalo $(164.86, 171.14)$: $$\bar{x} = \frac{164.86 + 171.14}{2} = \frac{336}{2} = 168$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el intervalo de confianza tiene la forma $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, por lo que la media siempre es el centro del mismo. ✅ **Media muestral:** $$\boxed{\bar{x} = 168 \text{ cm}}$$

El error máximo de estimación $E$ es la mitad de la amplitud del intervalo. Podemos calcularlo restando el extremo inferior a la media muestral o restando ambos extremos y dividiendo entre dos: $$E = 171.14 - 168 = 3.14$$ O también: $$E = \frac{171.14 - 164.86}{2} = \frac{6.28}{2} = 3.14$$ Para los cálculos posteriores, identificamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $95\%$: $$1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$, obtenemos: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ $$\boxed{E = 3.14, \quad z_{\alpha/2} = 1.96}$$

Queremos que el nuevo error $E'$ sea la mitad del anterior: $$E' = \frac{3.14}{2} = 1.57$$ La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Despejamos $n$: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E'} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E'} \right)^2$$ Sustituimos los valores ($\sigma = 8$, $z_{\alpha/2} = 1.96$, $E' = 1.57$): $$n = \left( \frac{1.96 \cdot 8}{1.57} \right)^2 = \left( \frac{15.68}{1.57} \right)^2 \approx (9.987...)^2 \approx 99.745$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y el error debe ser como máximo $1.57$, redondeamos siempre al alza. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea bajo, siempre se redondea al siguiente número entero para garantizar que el error no supere el límite permitido. ✅ **Tamaño muestral mínimo:** $$\boxed{n = 100}$$

**b) (1 punto) En un club privado con 243 usuarios se ha seleccionado una muestra para hacer un sondeo, según la actividad realizada y por muestreo aleatorio estratificado. En esa muestra, 5 usuarios practican Yoga, 7 Pilates y 15 Mantenimiento, ¿cuántos usuarios están inscritos en cada actividad en ese club?** En el muestreo aleatorio estratificado, el tamaño de los estratos en la muestra ($n_i$) es proporcional al tamaño de los estratos en la población ($N_i$). Calculamos primero el tamaño total de la muestra ($n$): $$n = 5 + 7 + 15 = 27$$ Sabemos que el total de la población es $N = 243$. La relación de proporcionalidad (o cuota de muestreo) es: $$k = \frac{N}{n} = \frac{243}{27} = 9$$ Esto significa que por cada usuario en la muestra, hay 9 usuarios en la población real. $$\boxed{k = 9}$$

Aplicamos la constante de proporcionalidad $k$ a cada estrato de la muestra para hallar el número de usuarios en el club: - **Yoga ($N_1$):** $5 \cdot 9 = 45$ usuarios. - **Pilates ($N_2$):** $7 \cdot 9 = 63$ usuarios. - **Mantenimiento ($N_3$):** $15 \cdot 9 = 135$ usuarios. Comprobamos que la suma total sea correcta: $$45 + 63 + 135 = 243$$ 💡 **Tip:** También se puede resolver mediante reglas de tres simples o usando la proporción $\frac{n_i}{n} = \frac{N_i}{N}$ para cada actividad. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Yoga: 45; Pilates: 63; Mantenimiento: 135}}$$