Optimización de la producción de colonia

**¿Cuántos litros de cada colonia convendría fabricar para que el importe de la venta de la producción sea máximo?** En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan las cantidades a fabricar de cada producto: - $x$: litros de agua de colonia tipo A. - $y$: litros de agua de colonia tipo B. El objetivo es maximizar el importe total de las ventas. Según el enunciado, el precio de la colonia A es de 24 €/l y el de la B es de 40 €/l. Por tanto, la función objetivo $V(x, y)$ es: $$V(x, y) = 24x + 40y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, siempre identifica primero qué te preguntan (las incógnitas) y qué quieres optimizar (la función objetivo).

La producción está limitada por la cantidad disponible de extracto de rosas y alcohol. Traducimos los porcentajes a cantidades decimales: 1. **Extracto de rosas:** La colonia A usa un 5% ($0.05x$) y la B un 10% ($0.10y$). El total no puede superar los 70 litros: $$0.05x + 0.10y \le 70$$ Multiplicando por 100 para simplificar: $5x + 10y \le 7000 \implies \mathbf{x + 2y \le 1400}$ 2. **Alcohol:** La colonia A usa un 10% ($0.10x$) y la B un 15% ($0.15y$). El total no puede superar los 120 litros: $$0.10x + 0.15y \le 120$$ Multiplicando por 100 para simplificar: $10x + 15y \le 12000 \implies \mathbf{2x + 3y \le 2400}$ 3. **No negatividad:** Como no se pueden fabricar litros negativos: $$\mathbf{x \ge 0, \quad y \ge 0}$$ 💡 **Tip:** Es muy útil simplificar las inecuaciones dividiendo por el máximo común divisor para trabajar con números más manejables al dibujar.

La región factible es el conjunto de puntos $(x, y)$ que cumplen todas las restricciones anteriores. Para dibujarla, trazamos las rectas asociadas a las inecuaciones: - Recta $r_1$ ($x + 2y = 1400$): Pasa por $(0, 700)$ y $(1400, 0)$. - Recta $r_2$ ($2x + 3y = 2400$): Pasa por $(0, 800)$ y $(1200, 0)$. La intersección de estas regiones en el primer cuadrante ($x, y \ge 0$) define un polígono cuyos vértices determinan las soluciones candidatas al máximo.

Los vértices del polígono son: - **O** $(0, 0)$ - **A**: Corte de $r_1$ con el eje $Y$: $(0, 700)$ - **B**: Corte de $r_2$ con el eje $X$: $(1200, 0)$ - **C**: Intersección de $r_1$ y $r_2$. Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} x + 2y = 1400 \implies x = 1400 - 2y \\ 2x + 3y = 2400 \end{cases}$$ Sustituyendo la primera en la segunda: $$2(1400 - 2y) + 3y = 2400$$ $$2800 - 4y + 3y = 2400 \implies -y = -400 \implies \mathbf{y = 400}$$ Calculamos $x$: $$x = 1400 - 2(400) = 1400 - 800 = \mathbf{600}$$ El punto de intersección es **$C(600, 400)$**. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal nos dice que el máximo (o mínimo) siempre se encuentra en uno de los vértices de la región factible.

Evaluamos $V(x, y) = 24x + 40y$ en cada vértice: - $V(0, 0) = 24(0) + 40(0) = 0 \text{ €}$ - $V(0, 700) = 24(0) + 40(700) = 28000 \text{ €}$ - $V(1200, 0) = 24(1200) + 40(0) = 28800 \text{ €}$ - $V(600, 400) = 24(600) + 40(400) = 14400 + 16000 = 30400 \text{ €}$ El valor máximo es de **30400 €**, que se alcanza fabricando 600 litros de colonia A y 400 litros de colonia B. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 600 litros de colonia A y 400 litros de colonia B}}$$