Estudio de beneficios de una empresa

**a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad de $B$ en el intervalo [0, 25].** Para estudiar la continuidad, analizamos primero las ramas de la función por separado y luego el punto de salto $t = 10$. 1. **En los intervalos abiertos:** - En $(0, 10)$, $B(t) = 4t$ es una función polinómica de primer grado, por lo que es continua. - En $(10, 25)$, $B(t) = -\frac{1}{5}t^2 + 8t - 20$ es una función polinómica de segundo grado, por lo que es continua. 2. **En el punto de salto $t = 10$:** - Valor de la función: $B(10) = -\frac{1}{5}(10)^2 + 8(10) - 20 = -20 + 80 - 20 = 40$. - Límite por la izquierda: $\lim_{t \to 10^-} B(t) = \lim_{t \to 10^-} 4t = 4(10) = 40$. - Límite por la derecha: $\lim_{t \to 10^+} B(t) = \lim_{t \to 10^+} \left(-\frac{1}{5}t^2 + 8t - 20\right) = 40$. Como los límites laterales coinciden con el valor de la función: $\lim_{t \to 10} B(t) = B(10) = 40$, la función es continua en $t = 10$. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si no presenta saltos en los puntos donde cambia la expresión analítica y cada rama es continua en su dominio. $$\boxed{\text{La función } B(t) \text{ es continua en todo el intervalo } [0, 25]}$$

Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad. Primero calculamos la derivada de cada rama: $$B'(t) = \begin{cases} 4 & \text{si } 0 \lt t \lt 10 \\ -\frac{2}{5}t + 8 & \text{si } 10 \lt t \lt 25 \end{cases}$$ Analizamos la derivabilidad en el punto crítico $t = 10$ comparando las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $B'(10^-) = 4$. - Derivada por la derecha: $B'(10^+) = -\frac{2}{5}(10) + 8 = -4 + 8 = 4$. Como $B'(10^-) = B'(10^+)$, la función es derivable en $t = 10$. En el resto de los intervalos $(0, 10)$ y $(10, 25)$ también es derivable por ser polinómica. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto y sus derivadas laterales deben coincidir. $$\boxed{\text{La función } B(t) \text{ es derivable en el intervalo } (0, 25)}$$

**b) (1 punto) Estudie la monotonía de esta función y determine en qué año fueron mayores los beneficios de esta empresa y cuál fue su beneficio máximo.** Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos donde la derivada se anula ($B'(t) = 0$): 1. En el primer tramo $0 \lt t \lt 10$, la derivada es $B'(t) = 4$, que siempre es positiva ($B'(t) \gt 0$), por lo que la función siempre **crece**. 2. En el segundo tramo $10 \le t \le 25$, hacemos $B'(t) = 0$: $$-\frac{2}{5}t + 8 = 0 \implies 8 = \frac{2}{5}t \implies 40 = 2t \implies t = 20$$ Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos resultantes: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 20) & 20 & (20, 25)\\\hline B'(t) & + & 0 & - \\ B(t) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - En $(0, 20)$, $B'(t) \gt 0$, luego la función es **creciente**. - En $(20, 25)$, $B'(t) \lt 0$, luego la función es **decreciente**. $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 20) \text{ y decreciente en } (20, 25)}$$

A partir del estudio de la monotonía, observamos que existe un máximo relativo en $t = 20$, ya que la función pasa de crecer a decrecer. Para hallar el beneficio máximo, sustituimos $t = 20$ en la función $B(t)$ (usando la segunda rama): $$B(20) = -\frac{1}{5}(20)^2 + 8(20) - 20 = -\frac{400}{5} + 160 - 20 = -80 + 160 - 20 = 60$$ Dado que los beneficios están en miles de euros, el beneficio máximo es de $60,000$ euros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El beneficio máximo fue de 60 mil euros en el año 20}}$$

**c) (0.5 puntos) Represente gráficamente esta función.** Para representar la función, utilizamos los datos obtenidos: - La función empieza en $(0, 0)$. - Es una recta con pendiente 4 hasta el punto $(10, 40)$. - A partir de $(10, 40)$, es una parábola cóncava (hacia abajo) con vértice en el máximo $(20, 60)$. - Termina en $t = 25$: $B(25) = -\frac{1}{5}(25)^2 + 8(25) - 20 = -125 + 200 - 20 = 55$. El punto final es $(25, 55)$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "B(x) = \{0 \le x \lt 10: 4x, 10 \le x \le 25: -0.2x^2 + 8x - 20\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(20, 60)", "color": "#ef4444", "label": "Máximo (20, 60)", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -2, "right": 27, "bottom": -10, "top": 70 } } }