Probabilidad de sucesos: Compatibilidad e Independencia

**a) (0.75 puntos) Razone si $A$ y $B$ son sucesos compatibles.** Primero, extraemos la información del enunciado: - $P(A) = 0.4$ - $P(B) = 0.5$ - $P((A \cup B)^c) = 0.1$ Para saber si son compatibles, necesitamos calcular $P(A \cap B)$. Usamos la propiedad del suceso contrario para hallar la unión: $$P(A \cup B) = 1 - P((A \cup B)^c) = 1 - 0.1 = 0.9$$ Ahora, aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$0.9 = 0.4 + 0.5 - P(A \cap B)$$ $$0.9 = 0.9 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 0$$ Dos sucesos son **compatibles** si pueden ocurrir simultáneamente ($P(A \cap B) \neq 0$) e **incompatibles** si no pueden ocurrir a la vez ($P(A \cap B) = 0$). Como $P(A \cap B) = 0$, concluimos que los sucesos son **incompatibles**. 💡 **Tip:** Si la probabilidad de la intersección es cero, los conjuntos son disjuntos (no tienen elementos en común). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Son sucesos incompatibles}}$$

Para facilitar los siguientes apartados, representamos los datos en una tabla de contingencia. Sabemos que $P(A \cap B) = 0$ y $P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 0.1$. $$\begin{array}{c|cc|c} & B & B^c & \text{Total} \\ \hline A & 0 & 0.4 & 0.4 \\ A^c & 0.5 & 0.1 & 0.6 \\ \hline \text{Total} & 0.5 & 0.5 & 1.0 \end{array}$$ Esta tabla nos permite visualizar rápidamente todas las intersecciones posibles.

**b) (0.75 puntos) Razone si $A$ y $B$ son sucesos independientes.** Dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no afecta a la probabilidad del otro. Matemáticamente, deben cumplir: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de sus probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.4 \cdot 0.5 = 0.20$$ Comparamos con el valor de la intersección hallado anteriormente: $$P(A \cap B) = 0$$ Dado que $0 \neq 0.20$, la condición de independencia no se cumple. 💡 **Tip:** Un error común es pensar que "incompatible" e "independiente" es lo mismo. En realidad, si dos sucesos con probabilidad distinta de cero son incompatibles, **siempre** son dependientes, ya que si ocurre uno, la probabilidad de que ocurra el otro pasa a ser cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Son sucesos dependientes (no independientes)}}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule $P(A \cap B^c)$.** La expresión $P(A \cap B^c)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ y no ocurra $B$. Esto equivale a $P(A - B)$. Usamos la fórmula: $$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cap B^c) = 0.4 - 0 = 0.4$$ 💡 **Tip:** Si los sucesos son incompatibles, la probabilidad de que ocurra $A$ y no ocurra $B$ es simplemente la probabilidad de $A$, ya que $B$ nunca ocurre cuando ocurre $A$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B^c) = 0.4}$$

**d) (0.5 puntos) Calcule $P(A/B^c)$.** Se nos pide la probabilidad de $A$ condicionada a que no haya ocurrido $B$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(A/B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$$ Primero calculamos $P(B^c)$: $$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0.5 = 0.5$$ Ahora sustituimos en la fórmula principal con el valor obtenido en el apartado anterior: $$P(A/B^c) = \frac{0.4}{0.5}$$ $$P(A/B^c) = 0.8$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A/B)$ se lee como "probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A/B^c) = 0.8}$$