Contraste de hipótesis para la media

**EJERCICIO 4 (2.5 puntos) En un artículo de internet se afirma que el número medio de mensajes de WhatsApp que mandan los jóvenes al día no es inferior a 40...** Primero definimos la variable aleatoria y los parámetros conocidos del problema: - $X =$ "Número de mensajes de WhatsApp enviados al día". - La población sigue una distribución Normal $N(\mu, \sigma = 2)$. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral observada: $\bar{x} = 38$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$. El enunciado nos indica que la hipótesis nula es que el número medio **no es inferior a 40** (es decir, es mayor o igual a 40): - Hipótesis nula: $H_0 : \mu \geq 40$ - Hipótesis alternativa: $H_1 : \mu \lt 40$ Se trata de un **contraste unilateral a la izquierda**, ya que la sospecha de incumplimiento de $H_0$ se produce para valores pequeños de la media. 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) suele contener el signo de igualdad ($\geq, \leq, =$). La dirección del contraste (izquierda, derecha o bilateral) la marca el símbolo de $H_1$.

Para realizar el contraste, necesitamos saber cómo se comporta la media de las muestras de tamaño $n=100$. Según la teoría de la inferencia, si la población es Normal, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Asumiendo que la hipótesis nula es cierta en su valor límite ($\mu = 40$): - Media: $\mu_0 = 40$ - Desviación típica de la media (error típico): $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0.2$ Por tanto, bajo $H_0$: $$\bar{X} \sim N(40, \, 0.2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al trabajar con medias muestrales, la desviación típica se divide siempre por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra $\sqrt{n}$.

La región de rechazo está formada por los valores de $\bar{x}$ que son tan pequeños que nos llevan a dudar de que $\mu$ sea 40. Buscamos un valor crítico $c$ tal que: $$P(\bar{X} \lt c) = \alpha = 0.05$$ Tipificamos la variable para usar la tabla de la Normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$P\left(Z \lt \frac{c - 40}{0.2}\right) = 0.05$$ Por simetría de la campana de Gauss, buscamos el valor $-z_{\alpha}$ que deja un $5\%$ a la izquierda, lo que equivale a que $z_{\alpha}$ deje un $95\%$ a su izquierda: $$P(Z \lt z_{\alpha}) = 0.95 \implies z_{\alpha} = 1.645$$ Entonces, nuestro valor crítico tipificado es $-1.645$: $$\frac{c - 40}{0.2} = -1.645$$ $$c = 40 - (1.645 \cdot 0.2) = 40 - 0.329 = 39.671$$ La **región de rechazo** es el intervalo de valores de la media muestral para los que rechazamos $H_0$: $$\text{R.R.} = (-\infty, \, 39.671)$$ ✅ **Región de rechazo:** $$\boxed{(-\infty, \, 39.671)}$$

Ahora comparamos el valor observado en nuestra muestra con la región de rechazo. - Media muestral observada: $\bar{x} = 38$. - Región de rechazo: $(-\infty, \, 39.671)$. Como $38 \lt 39.671$, el valor de la muestra **cae dentro de la región de rechazo**. Esto significa que la diferencia entre la media afirmada ($40$) y la observada ($38$) es demasiado grande para deberse simplemente al azar con un nivel de confianza del $95\%$. **Conclusión:** Existen evidencias estadísticas suficientes para **rechazar la hipótesis nula $H_0$**. Por tanto, **no se puede aceptar la afirmación** del artículo de internet que decía que el número medio de mensajes no era inferior a 40. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0 \text{. No se acepta la afirmación del artículo.}}$$