Programación Lineal: Región Factible y Optimización

**a) (1.5 puntos) Represéntela gráficamente y calcule sus vértices.** Para representar la región factible, primero transformamos las inecuaciones en ecuaciones de rectas para dibujar sus bordes: 1. $r_1: x + y = 20$ 2. $r_2: x - y = 0$ (o lo que es lo mismo, $y = x$) 3. $r_3: 5x - 13y + 8 = 0$ Determinamos hacia qué lado de cada recta se encuentra el semiplano solución: - Para $x + y \le 20$: Probamos con el punto $(0,0) \implies 0 + 0 \le 20$ (Verdadero). El semiplano contiene al origen. - Para $x - y \ge 0$: Probamos con el punto $(1,0) \implies 1 - 0 \ge 0$ (Verdadero). El semiplano está por debajo de la bisectriz. - Para $5x - 13y + 8 \le 0$: Probamos con $(0,0) \implies 8 \le 0$ (Falso). El semiplano no contiene al origen. 💡 **Tip:** Si una recta pasa por el origen (como $x - y = 0$), no puedes usar $(0,0)$ para probar el semiplano; usa un punto sencillo como $(1,0)$ o $(0,1)$.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por la intersección de las rectas: * **Vértice A (Intersección de $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} x + y = 20 \\ x - y = 0 \end{cases} \implies 2x = 20 \implies x = 10, y = 10 \implies \mathbf{A(10, 10)}$$ * **Vértice B (Intersección de $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} x + y = 20 \implies x = 20 - y \\ 5x - 13y + 8 = 0 \end{cases}$$ Sustituyendo: $5(20 - y) - 13y + 8 = 0 \implies 100 - 5y - 13y + 8 = 0 \implies 108 = 18y \implies y = 6$. Si $y = 6, x = 20 - 6 = 14 \implies \mathbf{B(14, 6)}$ * **Vértice C (Intersección de $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} x - y = 0 \implies x = y \\ 5x - 13y + 8 = 0 \end{cases}$$ Sustituyendo: $5y - 13y + 8 = 0 \implies -8y = -8 \implies y = 1, x = 1 \implies \mathbf{C(1, 1)}$ ✅ **Vértices:** $$\boxed{A(10, 10), B(14, 6), C(1, 1)}$$

**b) (0.4 puntos) Razone si el punto (3, 2.5) está en la región factible.** Para que un punto pertenezca a la región factible, debe cumplir simultáneamente todas las inecuaciones del sistema: 1. $x + y \le 20 \implies 3 + 2.5 = 5.5 \le 20$ (**Cumple**). 2. $x - y \ge 0 \implies 3 - 2.5 = 0.5 \ge 0$ (**Cumple**). 3. $5x - 13y + 8 \le 0 \implies 5(3) - 13(2.5) + 8 = 15 - 32.5 + 8 = -9.5 \le 0$ (**Cumple**). Como el punto satisface las tres condiciones, ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto (3, 2.5) sí pertenece a la región factible}}$$

**c) (0.6 puntos) Determine el valor máximo y el mínimo de la función $F(x,y) = x - y + 6$ en esa región y los puntos en los que se alcanzan.** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, el máximo y el mínimo se alcanzan en los vértices de la región factible (o en un lado que una dos vértices). Evaluamos $F(x,y) = x - y + 6$ en cada vértice: - $F(A) = F(10, 10) = 10 - 10 + 6 = 6$ - $F(B) = F(14, 6) = 14 - 6 + 6 = 14$ - $F(C) = F(1, 1) = 1 - 1 + 6 = 6$ **Observación:** La función toma el mismo valor mínimo en los vértices $A$ y $C$. Esto significa que el valor mínimo se alcanza en todos los puntos del segmento que une $A$ y $C$. Esto ocurre porque la función objetivo es paralela a la recta $r_2$ ($x-y=0$). 💡 **Tip:** Si el valor óptimo se repite en dos vértices adyacentes, cualquier punto del segmento entre ellos también es una solución óptima. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: 14 en el punto } B(14, 6)}$$ $$\boxed{\text{Mínimo: 6 en todos los puntos del segmento } AC}$$