Cálculo de derivadas, recta tangente y asíntotas

**a) (1.2 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: $f(x) = (x^2 - 1) \cdot (3x^3 + 5x)^3$ y $g(x) = \frac{\ln(3x)}{e^{2x}}$** Para calcular la derivada de $f(x) = (x^2 - 1) \cdot (3x^3 + 5x)^3$, identificamos que es un producto de dos funciones $u(x) \cdot v(x)$. 1. Definimos las partes: - $u(x) = x^2 - 1 \implies u'(x) = 2x$ - $v(x) = (3x^3 + 5x)^3$. Para esta parte usamos la **regla de la cadena**: $(w^n)' = n \cdot w^{n-1} \cdot w'$ $v'(x) = 3(3x^3 + 5x)^2 \cdot (9x^2 + 5)$ 2. Aplicamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = 2x \cdot (3x^3 + 5x)^3 + (x^2 - 1) \cdot 3(3x^3 + 5x)^2 \cdot (9x^2 + 5)$$ 3. Podemos simplificar factorizando $(3x^3 + 5x)^2$: $$f'(x) = (3x^3 + 5x)^2 [2x(3x^3 + 5x) + 3(x^2 - 1)(9x^2 + 5)]$$ $$f'(x) = (3x^3 + 5x)^2 [6x^4 + 10x^2 + 3(9x^4 + 5x^2 - 9x^2 - 5)]$$ $$f'(x) = (3x^3 + 5x)^2 [6x^4 + 10x^2 + 27x^4 - 12x^2 - 15]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto es: el primero derivado por el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por el segundo derivado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = (3x^3 + 5x)^2 (33x^4 - 2x^2 - 15)}$$

Para la función $g(x) = \frac{\ln(3x)}{e^{2x}}$, aplicamos la regla del cociente: 1. Definimos el numerador y denominador: - Numerador $u(x) = \ln(3x) \implies u'(x) = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$ - Denominador $v(x) = e^{2x} \implies v'(x) = 2e^{2x}$ 2. Aplicamos la regla $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot e^{2x} - \ln(3x) \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x})^2}$$ 3. Simplificamos sacando factor común $e^{2x}$: $$g'(x) = \frac{e^{2x} \left( \frac{1}{x} - 2\ln(3x) \right)}{e^{4x}} = \frac{\frac{1}{x} - 2\ln(3x)}{e^{2x}}$$ Multiplicando arriba y abajo por $x$ para quitar la fracción interna: $$g'(x) = \frac{1 - 2x\ln(3x)}{xe^{2x}}$$ 💡 **Tip:** La derivada de $\ln(f(x))$ es $\frac{f'(x)}{f(x)}$ y la de $e^{f(x)}$ es $f'(x)e^{f(x)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = \frac{1 - 2x\ln(3x)}{xe^{2x}}}$$

**b) (0.7 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $h(x) = \frac{3x+6}{2x+1}$ en el punto de abscisa $x = 1$.** La ecuación de la recta tangente en $x=a$ viene dada por: $y - h(a) = h'(a)(x - a)$. 1. **Punto de tangencia:** Calculamos $h(1)$: $$h(1) = \frac{3(1) + 6}{2(1) + 1} = \frac{9}{3} = 3 \implies \text{Punto } P(1, 3)$$ 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** Calculamos la derivada $h'(x)$: $$h'(x) = \frac{3(2x+1) - (3x+6)2}{(2x+1)^2} = \frac{6x + 3 - 6x - 12}{(2x+1)^2} = \frac{-9}{(2x+1)^2}$$ Ahora evaluamos en $x = 1$: $$m = h'(1) = \frac{-9}{(2\cdot 1 + 1)^2} = \frac{-9}{9} = -1$$ 3. **Ecuación final:** Sustituimos en la fórmula: $$y - 3 = -1(x - 1) \implies y = -x + 1 + 3$$ 💡 **Tip:** No olvides que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto coincide con el valor de la derivada de la función en la abscisa de dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -x + 4}$$

**c) (0.6 puntos) Determine, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de la función $h(x)$.** Analizamos la función racional $h(x) = \frac{3x+6}{2x+1}$. 1. **Asíntotas Verticales (A.V.):** Buscamos valores que anulen el denominador: $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to -1/2} \frac{3x+6}{2x+1} = \frac{4.5}{0} = \pm \infty$$ Existe una asíntota vertical en **$x = -1/2$**. 2. **Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos el límite cuando $x \to \infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{3x+6}{2x+1} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] = \frac{3}{2} = 1.5$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = 3/2$**. 3. **Asíntotas Oblicuas (A.O.):** En las funciones racionales, si existe asíntota horizontal, no existe asíntota oblicua. Por tanto, no tiene A.O. 💡 **Tip:** Una función racional tiene asíntota horizontal si el grado del numerador es igual o menor al del denominador. Si es igual (como aquí), la asíntota es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A.V.: } x = -1/2, \quad \text{A.H.: } y = 3/2}$$