Probabilidad e independencia de sucesos

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos y calculamos sus probabilidades individuales a partir de los datos del enunciado: - $V$: "El estudiante tiene problemas visuales". - $A$: "El estudiante tiene problemas auditivos". Sabemos que el centro tiene un total de $250$ estudiantes. Aplicando la regla de Laplace ($P = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$): $$P(V) = \frac{50}{250} = \frac{1}{5} = 0.2$$ $$P(A) = \frac{20}{250} = \frac{2}{25} = 0.08$$ Además, el enunciado indica que los sucesos **son independientes**. 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, se cumple que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Para visualizar mejor todos los casos, construimos una tabla de contingencia. Al ser sucesos independientes, podemos calcular la intersección $P(V \cap A)$ multiplicando sus probabilidades: $$P(V \cap A) = P(V) \cdot P(A) = 0.2 \cdot 0.08 = 0.016$$ Completamos el resto de la tabla restando los valores de los totales: $$\begin{array}{c|cc|c} & A & \bar{A} & \text{Total} \\ \hline V & 0.016 & 0.184 & 0.20 \\ \bar{V} & 0.064 & 0.736 & 0.80 \\ \hline \text{Total} & 0.08 & 0.92 & 1.00 \end{array}$$ Donde $\bar{V}$ y $\bar{A}$ representan no tener problemas visuales y auditivos, respectivamente.

**a) (0.75 puntos) Tener problemas visuales y auditivos.** Este suceso se representa como la intersección de ambos, $V \cap A$. Como nos han indicado que son independientes, aplicamos la propiedad directamente: $$P(V \cap A) = P(V) \cdot P(A)$$ $$P(V \cap A) = 0.2 \cdot 0.08 = 0.016$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V \cap A) = 0.016}$$

**b) (0.75 puntos) No tener problemas visuales ni auditivos.** Este suceso es $\bar{V} \cap \bar{A}$. Podemos obtenerlo directamente de nuestra tabla de contingencia o calculándolo por independencia (si $V$ y $A$ son independientes, sus contrarios también lo son): $$P(\bar{V} \cap \bar{A}) = P(\bar{V}) \cdot P(\bar{A})$$ Calculamos las probabilidades de los sucesos contrarios: $$P(\bar{V}) = 1 - P(V) = 1 - 0.2 = 0.8$$ $$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.08 = 0.92$$ Ahora multiplicamos: $$P(\bar{V} \cap \bar{A}) = 0.8 \cdot 0.92 = 0.736$$ 💡 **Tip:** También podrías usar las Leyes de De Morgan: $P(\bar{V} \cap \bar{A}) = P(\overline{V \cup A}) = 1 - P(V \cup A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{V} \cap \bar{A}) = 0.736}$$

**c) (1 punto) Tener algún problema auditivo si no tiene problemas visuales.** Se trata de una probabilidad condicionada: queremos saber la probabilidad de $A$ sabiendo que ha ocurrido $\bar{V}$, es decir, $P(A | \bar{V})$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(A | \bar{V}) = \frac{P(A \cap \bar{V})}{P(\bar{V})}$$ De la tabla de contingencia o por independencia, sabemos que $P(A \cap \bar{V}) = 0.064$ y que $P(\bar{V}) = 0.8$: $$P(A | \bar{V}) = \frac{0.064}{0.8} = 0.08$$ 💡 **Tip:** Puesto que los sucesos son independientes, el hecho de que no tenga problemas visuales no afecta a la probabilidad de tener problemas auditivos. Por definición de independencia, $P(A | \bar{V}) = P(A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | \bar{V}) = 0.08}$$