Contraste de hipótesis para la media

**a) (1.75 puntos) Plantee un contraste de hipótesis, y para un nivel de significación del 5%, obtenga la región de rechazo del contraste. ¿Se puede confirmar la sospecha?** Primero, identificamos los datos del problema: - Población: $N(\mu, \sigma)$. - Varianza poblacional: $\sigma^2 = 2.25 \implies \sigma = \sqrt{2.25} = 1.5$ cm. - Tamaño de la muestra: $n = 10$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$. Calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{12.5 + 11.8 + 13.1 + 14.3 + 11.7 + 12.6 + 12.7 + 12.1 + 13.5 + 11.5}{10} = \frac{125.8}{10} = 12.58 \text{ cm}$$ 💡 **Tip:** En inferencia, la desviación típica de la media muestral (error estándar) es $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Queremos contrastar si el diámetro medio no supera los 11.7 cm. El enunciado ya nos da la hipótesis nula: - Hipótesis nula ($H_0$): $\mu \le 11.7$ (La sospecha se mantiene). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $\mu \gt 11.7$ (El diámetro es mayor de lo sospechado). Se trata de un **contraste unilateral a la derecha**, ya que los valores que contradicen la sospecha son los que están muy por encima de 11.7 cm. $$\boxed{H_0: \mu \le 11.7; \quad H_1: \mu \gt 11.7}$$

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \gt z_{0.05}) = 0.05 \implies P(Z \le z_{0.05}) = 0.95$$ Consultando la tabla de la Normal $N(0,1)$: $$z_{0.05} = 1.645$$ Ahora calculamos el valor crítico para la media muestral ($\bar{x}_c$): $$\bar{x}_c = \mu_0 + z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 11.7 + 1.645 \cdot \frac{1.5}{\sqrt{10}} = 11.7 + 1.645 \cdot 0.4743 = 11.7 + 0.7803 = 12.4803$$ La **región de rechazo** está formada por los valores de la media muestral superiores al valor crítico: $$\boxed{\text{R.R.} = (12.4803, +\infty)}$$

Comparamos nuestra media muestral calculada con la región de rechazo: $$\bar{x} = 12.58$$ Como $12.58 \gt 12.4803$, la media muestral **pertenece a la región de rechazo**. Por lo tanto, rechazamos $H_0$ con un nivel de confianza del 95%. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Al nivel del 5% se rechaza } H_0, \text{ por lo que no se puede confirmar la sospecha.}}$$

**b) (0.75 puntos) ¿Y para un nivel de significación del 3%, se puede confirmar la sospecha?** Si $\alpha = 0.03$, buscamos el nuevo valor crítico $z_{0.03}$: $$P(Z \gt z_{0.03}) = 0.03 \implies P(Z \le z_{0.03}) = 0.97$$ Buscando en la tabla de la Normal $N(0,1)$, el valor más próximo a 0.97 es $0.9699$, que corresponde a: $$z_{0.03} = 1.88$$ Calculamos el nuevo valor crítico de la media: $$\bar{x}_c = 11.7 + 1.88 \cdot \frac{1.5}{\sqrt{10}} = 11.7 + 1.88 \cdot 0.4743 = 11.7 + 0.8917 = 12.5917$$ La nueva región de rechazo es: $$\text{R.R.} = (12.5917, +\infty)$$

Comparamos la media muestral obtenida en el primer paso con el nuevo límite: $$\bar{x} = 12.58$$ Dado que $12.58 \lt 12.5917$, el valor **no pertenece a la región de rechazo**. En este caso, no hay evidencia suficiente para rechazar $H_0$, por lo que aceptamos la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Al nivel del 3% se acepta } H_0, \text{ por lo que sí se confirma la sospecha.}}$$