Ecuación matricial y dimensiones de matrices

**a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $X \cdot (B \cdot B^t) = \frac{1}{2}A - 2A^t$.** Primero, calculamos el término $(B \cdot B^t)$. Obtenemos la matriz traspuesta $B^t$ cambiando filas por columnas: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto $B \cdot B^t$ (dimensión $(2 \times 3) \cdot (3 \times 2) = (2 \times 2)$): $$B \cdot B^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+0(0)+1(1) & 1(1)+0(-2)+1(0) \\ 1(1)+(-2)(0)+0(1) & 1(1)+(-2)(-2)+0(0) \end{pmatrix}$$ $$B \cdot B^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$$ Llamaremos $M = B \cdot B^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$.

Ahora calculamos el término de la derecha: $C = \frac{1}{2}A - 2A^t$. Calculamos $A^t$ y multiplicamos: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -6 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}$$ $$\frac{1}{2}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$$ $$2A^t = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 8 & -12 \end{pmatrix}$$ Restamos ambas matrices: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 8 & -12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 & 2-(-4) \\ -1-8 & -3-(-12) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ -9 & 9 \end{pmatrix}$$ Nuestra ecuación ahora es: $X \cdot M = C$.

Para despejar $X$ en la ecuación $X \cdot M = C$, debemos multiplicar por la inversa de $M$ **por la derecha**: $$X \cdot M \cdot M^{-1} = C \cdot M^{-1} \implies X = C \cdot M^{-1}$$ Calculamos $M^{-1}$ de $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$: 1. Determinante: $|M| = (2 \cdot 5) - (1 \cdot 1) = 10 - 1 = 9$. 2. Matriz de adjuntos traspuesta: Para una matriz $2 \times 2$, intercambiamos los elementos de la diagonal principal y cambiamos el signo de los de la secundaria: $$Adj(M)^t = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa: $M^{-1} = \frac{1}{|M|} Adj(M)^t = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. 💡 **Tip:** Recuerda que en ecuaciones matriciales el orden importa. Si $M$ multiplica por la derecha a $X$, su inversa debe aparecer por la derecha en el otro miembro.

Multiplicamos $C$ por $M^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ -9 & 9 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} (-3)(5) + 6(-1) & (-3)(-1) + 6(2) \\ (-9)(5) + 9(-1) & (-9)(-1) + 9(2) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} -15-6 & 3+12 \\ -45-9 & 9+18 \end{pmatrix} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} -21 & 15 \\ -54 & 27 \end{pmatrix}$$ Simplificamos dividiendo cada término entre $9$: $$X = \begin{pmatrix} -21/9 & 15/9 \\ -54/9 & 27/9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7/3 & 5/3 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -7/3 & 5/3 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Razone cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse e indique, en su caso, la dimensión de la matriz resultante:** Identificamos las dimensiones: - $A$ es $2 \times 2$. - $B$ es $2 \times 3$. - $B^t$ es $3 \times 2$. - $A^{-1}$ es $2 \times 2$ (existe porque $|A| = -12 - (-8) = -4 \neq 0$). 💡 **Tip:** El producto $M \cdot N$ es posible si el número de columnas de $M$ es igual al número de filas de $N$. El resultado tiene las filas de $M$ y las columnas de $N$. Analizamos cada caso: 1. **$A \cdot B$**: $(2 \times 2) \cdot (2 \times 3)$. **Es posible** porque $2 = 2$. Dimensión resultante: $\boxed{2 \times 3}$. 2. **$A \cdot B^t$**: $(2 \times 2) \cdot (3 \times 2)$. **No es posible** porque el número de columnas de $A$ (2) es distinto al de filas de $B^t$ (3). 3. **$B \cdot A^{-1}$**: $(2 \times 3) \cdot (2 \times 2)$. **No es posible** porque el número de columnas de $B$ (3) es distinto al de filas de $A^{-1}$ (2). 4. **$B^t \cdot A + A^{-1}$**: - Primero el producto $B^t \cdot A$: $(3 \times 2) \cdot (2 \times 2)$, que da una matriz de $3 \times 2$. - Luego la suma: $(3 \times 2) + (2 \times 2)$. **No es posible** porque para sumar matrices deben tener exactamente la misma dimensión.