Optimización de costes de una fábrica

**a) (0.8 puntos) Determine la cantidad a fabricar para minimizar el coste y calcule este coste mínimo.** Para hallar el mínimo de la función de costes $f(x) = 2x^2 - 36x + 200$, primero calculamos su primera derivada: $$f'(x) = 4x - 36$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$4x - 36 = 0 \implies 4x = 36 \implies x = \frac{36}{4} = 9$$ 💡 **Tip:** Para minimizar una función derivable, buscamos los puntos donde la pendiente de la recta tangente es cero ($f'(x)=0$).

Para comprobar que en $x = 9$ hay un mínimo, podemos usar la segunda derivada: $$f''(x) = 4$$ Como $f''(9) = 4 > 0$, confirmamos que se trata de un **mínimo relativo** (y absoluto, al ser una parábola cóncava hacia arriba). Ahora calculamos el valor del coste mínimo sustituyendo $x = 9$ en la función original: $$f(9) = 2(9)^2 - 36(9) + 200 = 2(81) - 324 + 200 = 162 - 324 + 200 = 38$$ Interpretamos los resultados según las unidades del enunciado ($x$ en miles de kg y $f(x)$ en miles de €): - Cantidad: $9 \cdot 1000 = 9000$ kg - Coste: $38 \cdot 1000 = 38000$ € ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Cantidad: } 9000 \text{ kg, Coste mínimo: } 38000 \text{ €}}$$

**b) (0.8 puntos) A partir del signo de $f'(7)$, ¿qué se puede decir del coste para una producción de siete mil kilogramos?** Calculamos el valor de la derivada en $x = 7$ (que representa siete mil kilogramos): $$f'(7) = 4(7) - 36 = 28 - 36 = -8$$ Como $f'(7) < 0$, la función es **estrictamente decreciente** en ese punto. Esto significa que, para una producción de 7000 kg, **el coste está disminuyendo** a medida que aumenta ligeramente la producción. 💡 **Tip:** Si $f'(a) < 0$, la función decrece en $x=a$. Si $f'(a) > 0$, la función crece.

**c) (0.9 puntos) Dibuje la gráfica de la función de costes. ¿Para qué cantidad o cantidades fabricadas el coste es de 200000 €?** Primero resolvemos la segunda parte de la pregunta. Como el coste $f(x)$ está en miles de euros, 200.000 € equivalen a $f(x) = 200$: $$2x^2 - 36x + 200 = 200$$ Simplificamos restando 200 en ambos lados: $$2x^2 - 36x = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$2x(x - 18) = 0$$ Las soluciones son: 1. $2x = 0 \implies x = 0$ 2. $x - 18 = 0 \implies x = 18$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Para } 0 \text{ kg (sin fabricar) y para } 18000 \text{ kg}}$$

Para dibujar la gráfica de la función $f(x) = 2x^2 - 36x + 200$ para $x \ge 0$, destacamos los puntos clave calculados: - **Vértice (Mínimo):** $(9, 38)$ - **Corte con el eje Y:** $f(0) = 200$, es decir, el punto $(0, 200)$. - **Otro punto de interés:** $(18, 200)$, calculado en el paso anterior. La gráfica es una parábola que decrece desde $x=0$ hasta su mínimo en $x=9$ y luego crece indefinidamente.