Probabilidad de retrasos en vuelos

**a) (1.25 puntos) Que no sufriera retraso.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: El vuelo opera en la terminal A. - $B$: El vuelo opera en la terminal B. - $C$: El vuelo opera en la terminal C. - $R$: El vuelo sufre un retraso. - $\bar{R}$: El vuelo no sufre un retraso. Calculamos las probabilidades de elegir cada terminal sobre el total de $300,000$ vuelos: - $P(A) = \frac{150,000}{300,000} = 0.5$ - $P(B) = \frac{100,000}{300,000} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$ - $P(C) = \frac{50,000}{300,000} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$ Las probabilidades condicionadas dadas son: - $P(R|A) = 0.10 \implies P(\bar{R}|A) = 0.90$ - $P(R|B) = 0.08 \implies P(\bar{R}|B) = 0.92$ - $P(R|C) = 0.05 \implies P(\bar{R}|C) = 0.95$ Representamos la situación en un árbol de probabilidades: 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

Para hallar la probabilidad de que un vuelo no sufriera retraso, $P(\bar{R})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este suceso puede ocurrir en cualquiera de las tres terminales: $$P(\bar{R}) = P(A) \cdot P(\bar{R}|A) + P(B) \cdot P(\bar{R}|B) + P(C) \cdot P(\bar{R}|C)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(\bar{R}) = 0.5 \cdot 0.9 + \frac{1}{3} \cdot 0.92 + \frac{1}{6} \cdot 0.95$$ Realizamos las operaciones: $$P(\bar{R}) = 0.45 + \frac{0.92}{3} + \frac{0.95}{6}$$ Para operar con exactitud, buscamos común denominador ($6$): $$P(\bar{R}) = \frac{2.7}{6} + \frac{1.84}{6} + \frac{0.95}{6} = \frac{2.7 + 1.84 + 0.95}{6} = \frac{5.49}{6}$$ Calculamos el resultado final: $$P(\bar{R}) = 0.915$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{P(\bar{R}) = 0.915}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que no sufriera retraso es del **91.5%**.

**b) (1.25 puntos) Que operase en la terminal A, sabiendo que tuvo retraso.** Se nos pide calcular la probabilidad condicionada $P(A|R)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|R) = \frac{P(A \cap R)}{P(R)} = \frac{P(A) \cdot P(R|A)}{P(R)}$$ Primero necesitamos calcular $P(R)$. Como sabemos que $P(\bar{R}) = 0.915$, por la propiedad del suceso contrario: $$P(R) = 1 - P(\bar{R}) = 1 - 0.915 = 0.085$$ Ahora calculamos el numerador (probabilidad de que sea de la terminal A y tenga retraso): $$P(A \cap R) = P(A) \cdot P(R|A) = 0.5 \cdot 0.1 = 0.05$$ Aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(A|R) = \frac{0.05}{0.085} = \frac{50}{85} = \frac{10}{17}$$ Expresado en decimal: $$P(A|R) \approx 0.5882$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite calcular la probabilidad de una "causa" (Terminal A) dado que conocemos el "efecto" (Retraso). ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{P(A|R) = \frac{10}{17} \approx 0.5882}$$