Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de azúcar de esa marca, con un nivel de confianza del 97%.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como el peso en gramos de los paquetes de azúcar. El enunciado nos indica que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 16)$$ Los datos que conocemos de la muestra son: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Media muestral: $\bar{x} = 247$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 16$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$ 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia, es fundamental distinguir entre los parámetros poblacionales (como $\sigma$) y los estadísticos muestrales (como $\bar{x}$).

Para construir el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $97\%$. 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.015$. 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.9850$$ Buscando en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0.9850$ corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una interpolación, pero aquí $0.9850$ es exacto para $2.17$.

La fórmula para el intervalo de confianza de la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Primero calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{16}{\sqrt{100}} = 2.17 \cdot \frac{16}{10} = 2.17 \cdot 1.6 = 3.472$$ Ahora aplicamos este error a la media muestral: $$I.C. = (247 - 3.472, \, 247 + 3.472)$$ $$I.C. = (243.528, \, 250.472)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (243.528, \, 250.472)}$$

**b) (1 punto) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el peso medio con un error máximo de 0.5 gramos, a un nivel de confianza del 95%.** Para este apartado, cambian las condiciones: - Error máximo: $E = 0.5$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. 2. $\alpha/2 = 0.025$. 3. $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$. En las tablas de la normal, el valor de probabilidad $0.9750$ corresponde a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1.96$ para el $95\%$ es uno de los más habituales en estadística, conviene recordarlo.

Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos despejar $n$, por lo que: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n = \left( \frac{1.96 \cdot 16}{0.5} \right)^2 = \left( \frac{31.36}{0.5} \right)^2 = (62.72)^2$$ $$n = 3933.7984$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** de $0.5$, debemos redondear siempre al alza para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 3934 \text{ paquetes}}$$