Dimensiones, ecuaciones matriciales y operaciones

**a) (0.5 puntos) Si $A$ es una matriz de dimensión $m \times n$, indique la dimensión de una matriz $X$ si se verifica que $(A^t \cdot A) \cdot X = I_n$.** Para determinar la dimensión de $X$, analizamos paso a paso las dimensiones de los productos: 1. Si la matriz $A$ tiene dimensión $m \times n$, su traspuesta $A^t$ tiene dimensión $n \times m$. 2. El producto $A^t \cdot A$ implica multiplicar una matriz $(n \times m)$ por una $(m \times n)$. El resultado es una matriz de dimensión $n \times n$. 3. La ecuación nos dice que $(A^t \cdot A) \cdot X = I_n$. Como $I_n$ es la matriz identidad de orden $n$ (dimensión $n \times n$), y sabemos que el primer factor $(A^t \cdot A)$ es $n \times n$, la matriz $X$ debe ser necesariamente de dimensión **$n \times n$** para que el producto sea posible y el resultado tenga ese tamaño. 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar dos matrices $M_{p \times q}$ y $N_{q \times r}$, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda, resultando en una matriz de $p \times r$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X \text{ es una matriz de dimensión } n \times n}$$

**b) (1.25 puntos) Calcule dicha matriz $X$ en el caso en que $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.** Primero, calculamos el producto $M = A^t \cdot A$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$M = A^t \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1+1 & 1-1+1 \\ 1-1+1 & 1+1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ La ecuación queda como $M \cdot X = I_2$. Si $M$ es invertible, entonces $X = M^{-1}$.

Para hallar $X = (A^t \cdot A)^{-1}$, primero calculamos el determinante de $M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$: $$\det(M) = |M| = (3 \cdot 3) - (1 \cdot 1) = 9 - 1 = 8$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz adjunta de su traspuesta (o viceversa): $$M^t = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(M^t) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Finalmente, $X = \frac{1}{|M|} \cdot \text{Adj}(M^t)$: $$X = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/8 & -1/8 \\ -1/8 & 3/8 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, su inversa es $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3/8 & -1/8 \\ -1/8 & 3/8 \end{pmatrix}}$$

**c) (0.75 puntos) Calcule, si es posible, el producto $A \cdot (A^t \cdot A)$.** Comprobamos las dimensiones: - La matriz $A$ es de dimensión $3 \times 2$. - La matriz $(A^t \cdot A)$ es de dimensión $2 \times 2$ (calculada en el apartado anterior). Como el número de columnas de $A$ (2) coincide con el número de filas de $(A^t \cdot A)$ (2), el producto **es posible** y el resultado será una matriz de dimensión **$3 \times 2$**.

Utilizamos la matriz $(A^t \cdot A) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ obtenida anteriormente: $$A \cdot (A^t \cdot A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Fila 1: $(1 \cdot 3 + 1 \cdot 1) = 4$; $(1 \cdot 1 + 1 \cdot 3) = 4$ - Fila 2: $(1 \cdot 3 + (-1) \cdot 1) = 2$; $(1 \cdot 1 + (-1) \cdot 3) = -2$ - Fila 3: $(1 \cdot 3 + 1 \cdot 1) = 4$; $(1 \cdot 1 + 1 \cdot 3) = 4$ $$A \cdot (A^t \cdot A) = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 2 & -2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \cdot (A^t \cdot A) = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 2 & -2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}}$$