Continuidad, derivabilidad y recta tangente

**a) (1.3 puntos) Calcule el valor del parámetro $a$ para que la función sea continua en su dominio. En este caso, ¿sería derivable en su dominio?** Para que la función sea continua en su dominio, al ser una función definida a trozos por funciones polinómicas, solo debemos estudiar el salto entre ramas en el punto $x = 2$. Una función es continua en $x = c$ si se cumple que: $$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$$ Calculamos los límites laterales en $x = 2$: - Límite por la izquierda (rama superior): $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(\frac{1}{a}x^2 + 1\right) = \frac{1}{a}(2)^2 + 1 = \frac{4}{a} + 1$$ - Límite por la derecha (rama inferior): $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (-x + a) = -2 + a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que no exista un salto en la gráfica, ambos límites deben ser iguales.

Igualamos ambos límites para garantizar la continuidad: $$\frac{4}{a} + 1 = a - 2$$ Multiplicamos toda la ecuación por $a$ (sabiendo que $a > 0$) para eliminar el denominador: $$4 + a = a^2 - 2a$$ $$a^2 - 3a - 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$$ Esto nos da dos posibles soluciones: - $a_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$ - $a_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$ Como el enunciado especifica que $a > 0$, descartamos $a = -1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 4}$$

Para $a = 4$, la función es: $$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{4}x^2 + 1 & \text{si } x \le 2,\\ -x + 4 & \text{si } x > 2. \end{cases}$$ Para estudiar la derivabilidad, primero derivamos las ramas: $$f'(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}x & \text{si } x < 2,\\ -1 & \text{si } x > 2. \end{cases}$$ Comprobamos si las derivadas laterales en $x = 2$ coinciden: - Derivada por la izquierda: $f'(2^-) = \frac{1}{2}(2) = 1$ - Derivada por la derecha: $f'(2^+) = -1$ Como $1 \neq -1$, las derivadas laterales son distintas. Por tanto, la función **no es derivable en x = 2** (presenta un punto anguloso). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es derivable en todo su dominio (falla en } x = 2)}$$

**b) (1.2 puntos) Para el valor $a = 4$, represente gráficamente la función y halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = -1$.** Primero, hallamos la ecuación de la recta tangente en $x = -1$. Como $-1 < 2$, utilizamos la primera rama de la función y su derivada: $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 1$ y $f'(x) = \frac{1}{2}x$. 1. Calculamos el punto de tangencia $(x_0, y_0)$: $$x_0 = -1 \implies y_0 = f(-1) = \frac{1}{4}(-1)^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} = 1.25$$ 2. Calculamos la pendiente $m$: $$m = f'(-1) = \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{2} = -0.5$$ 3. Aplicamos la fórmula de la recta tangente $y - y_0 = m(x - x_0)$: $$y - \frac{5}{4} = -\frac{1}{2}(x - (-1))$$ $$y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}$$ 💡 **Tip:** La recta tangente en $x=a$ siempre tiene la forma $y - f(a) = f'(a)(x-a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -0.5x + 0.75}$$

Para representar $f(x)$ con $a = 4$: - En el intervalo $(-\infty, 2]$, la función es una parábola convexa con vértice en $(0, 1)$. En $x=2$ vale $f(2) = 2$. - En el intervalo $(2, +\infty)$, es una recta decreciente que parte del punto $(2, 2)$. Aquí tienes la representación gráfica junto a la recta tangente calculada: