Probabilidad: Monedas trucadas y Teorema de Bayes

**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara?** En primer lugar, definimos los sucesos del experimento: - $D$: Elegir la moneda de 1 dólar. - $L$: Elegir la moneda de 1 libra. - $E$: Elegir la moneda de 1 euro. - $C$: Obtener cara al lanzar la moneda. - $X$: Obtener cruz al lanzar la moneda. Como elegimos una de las tres monedas al azar, tenemos: $$P(D) = P(L) = P(E) = \frac{1}{3}$$ Ahora calculamos las probabilidades de obtener cara o cruz según la moneda elegida: 1. **Moneda de 1 dólar:** Nos dicen que $P(C|D) = 2 \cdot P(X|D)$. Como la suma de probabilidades es 1 ($P(C|D) + P(X|D) = 1$): $$2P(X|D) + P(X|D) = 1 \implies 3P(X|D) = 1 \implies P(X|D) = \frac{1}{3}, \quad P(C|D) = \frac{2}{3}$$ 2. **Moneda de 1 libra:** Al tener dos caras, la probabilidad de cara es total: $$P(C|L) = 1, \quad P(X|L) = 0$$ 3. **Moneda de 1 euro:** Es correcta (equitativa): $$P(C|E) = \frac{1}{2}, \quad P(X|E) = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en cualquier moneda (o experimento dicotómico), la suma de la probabilidad de un suceso y su contrario siempre es 1.

Para visualizar mejor el problema, construimos el diagrama de árbol con todas las ramificaciones y sus probabilidades conjuntas:

Para hallar la probabilidad total de que salga cara, sumamos las probabilidades de obtener cara con cada una de las monedas (las ramas del árbol que terminan en $C$): $$P(C) = P(D) \cdot P(C|D) + P(L) \cdot P(C|L) + P(E) \cdot P(C|E)$$ Sustituimos los valores calculados: $$P(C) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot 1 \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \right)$$ $$P(C) = \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$$ Buscamos el mínimo común múltiplo de 9, 3 y 6, que es 18, para sumar las fracciones: $$P(C) = \frac{4}{18} + \frac{6}{18} + \frac{3}{18} = \frac{13}{18}$$ En decimales, esto es aproximadamente $0.7222$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C) = \frac{13}{18} \approx 0.7222}$$

**b) (1 punto) Sabiendo que salió cruz, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda lanzada fuera la de 1 dólar?** Nos piden calcular $P(D|X)$. Aplicamos el Teorema de Bayes: $$P(D|X) = \frac{P(D \cap X)}{P(X)} = \frac{P(D) \cdot P(X|D)}{P(X)}$$ Primero, calculamos $P(X)$, que es la probabilidad del suceso contrario a $C$: $$P(X) = 1 - P(C) = 1 - \frac{13}{18} = \frac{18 - 13}{18} = \frac{5}{18}$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (moneda de dólar y cruz): $$P(D \cap X) = P(D) \cdot P(X|D) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$$ Sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(D|X) = \frac{1/9}{5/18} = \frac{1}{9} \cdot \frac{18}{5} = \frac{18}{45}$$ Simplificamos dividiendo entre 9: $$P(D|X) = \frac{2}{5} = 0.4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Bayes nos permite "ir hacia atrás" en el árbol: conociendo el resultado final (cruz), podemos calcular la probabilidad de la causa (haber elegido la moneda de dólar). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D|X) = \frac{2}{5} = 0.4}$$