Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la media

**a) (2 puntos) Suponiendo que el número de entradas vendidas mensualmente sigue una distribución Normal con desviación típica 50 entradas, calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 95%, para el número medio de personas que van al cine mensualmente en esa ciudad.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado: - Muestra ($n$): $10$ meses. - Desviación típica poblacional ($\sigma$): $50$ entradas. - Nivel de confianza ($1-\alpha$): $95\% = 0,95$. Calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$) sumando todos los valores y dividiendo entre el número total de datos: $$\bar{x} = \frac{682 + 553 + 555 + 666 + 657 + 649 + 522 + 568 + 700 + 552}{10}$$ $$\bar{x} = \frac{6104}{10} = 610,4$$ 💡 **Tip:** La media muestral $\bar{x}$ es el centro de nuestro intervalo de confianza. $$\boxed{\bar{x} = 610,4}$$

Para un nivel de confianza del $95\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que el área central sea $0,95$. 1. Si el nivel de confianza es $1-\alpha = 0,95$, entonces el nivel de significación es $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$. 2. Repartimos este error en las dos colas de la distribución: $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal $N(0,1)$ que deje a su izquierda una probabilidad de: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,025 = 0,975$$ Mirando en la tabla de la distribución Normal estándar, el valor que corresponde a una probabilidad de $0,975$ es: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** El valor $1,96$ es muy común para el $95\%$. Memorizar los valores críticos para el $90\%$ ($1,645$), $95\%$ ($1,96$) y $99\%$ ($2,575$) ahorra tiempo en los exámenes.

La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$IC = \left( 610,4 - 1,96 \cdot \frac{50}{\sqrt{10}}, 610,4 + 1,96 \cdot \frac{50}{\sqrt{10}} \right)$$ Calculamos el margen de error: $$E = 1,96 \cdot \frac{50}{3,162} = 1,96 \cdot 15,811 = 30,99$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $610,4 - 30,99 = 579,41$ - Extremo superior: $610,4 + 30,99 = 641,39$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{IC = (579,41, \, 641,39)}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Cuál es el error máximo que se comete al estimar esta media con este intervalo?** El error máximo cometido (también llamado margen de error) es la distancia desde la media muestral hasta cualquiera de los extremos del intervalo. Su fórmula es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Como ya hemos realizado este cálculo en el apartado anterior: $$E = 1,96 \cdot \frac{50}{\sqrt{10}} = 1,96 \cdot 15,811 = 30,99$$ Esto significa que tenemos una confianza del $95\%$ de que la media real de entradas vendidas no se aleja de nuestra media muestral ($610,4$) en más de $30,99$ unidades. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{E = 30,99 \text{ entradas}}$$