Operaciones con matrices y resolución de una ecuación matricial

**a) (1 punto) Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y en dichos casos calcule el resultado: $A \cdot B$, $B \cdot A$, $B \cdot C$ y $C^t \cdot B^t$.** Para que un producto de matrices $M \cdot N$ sea posible, el número de columnas de la primera matriz ($M$) debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz ($N$). Analizamos las dimensiones de nuestras matrices: - $A$ tiene dimensión $2 \times 2$. - $B$ tiene dimensión $1 \times 2$. - $C$ tiene dimensión $2 \times 1$. - $B^t$ (traspuesta de $B$) tiene dimensión $2 \times 1$. - $C^t$ (traspuesta de $C$) tiene dimensión $1 \times 2$. Evaluamos cada caso: 1. **$A \cdot B$**: $(2 \times 2) \cdot (1 \times 2)$. El número de columnas de $A$ (2) no coincide con el número de filas de $B$ (1). **No se puede realizar**. 2. **$B \cdot A$**: $(1 \times 2) \cdot (2 \times 2)$. El número de columnas de $B$ (2) coincide con el número de filas de $A$ (2). **Se puede realizar** y el resultado será una matriz $1 \times 2$. 3. **$B \cdot C$**: $(1 \times 2) \cdot (2 \times 1)$. El número de columnas de $B$ (2) coincide con el número de filas de $C$ (2). **Se puede realizar** y el resultado será una matriz $1 \times 1$. 4. **$C^t \cdot B^t$**: $(1 \times 2) \cdot (2 \times 1)$. El número de columnas de $C^t$ (2) coincide con el número de filas de $B^t$ (2). **Se puede realizar** y el resultado será una matriz $1 \times 1$. 💡 **Tip:** Si $M$ es $(m \times n)$ y $N$ es $(n \times p)$, el producto $M \cdot N$ es una matriz de dimensión $(m \times p)$.

Realizamos los cálculos para las operaciones que sí son viables: **Cálculo de $B \cdot A$:** $$B \cdot A = (-2 \quad 3) \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = ((-2) \cdot 3 + 3 \cdot 1 \quad (-2) \cdot 0 + 3 \cdot 2) = (-6 + 3 \quad 0 + 6) = (-3 \quad 6)$$ **Cálculo de $B \cdot C$:** $$B \cdot C = (-2 \quad 3) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = ((-2) \cdot (-1) + 3 \cdot (-1)) = (2 - 3) = (-1)$$ **Cálculo de $C^t \cdot B^t$:** Sabemos que $C^t = (-1 \quad -1)$ y $B^t = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$: $$C^t \cdot B^t = (-1 \quad -1) \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = ((-1) \cdot (-2) + (-1) \cdot 3) = (2 - 3) = (-1)$$ *(Nota: se cumple la propiedad $(B \cdot C)^t = C^t \cdot B^t$, y como $B \cdot C$ es un escalar, su traspuesta es el mismo valor)*. ✅ **Resultados del apartado a):** $$\boxed{A \cdot B: \text{No posible}; \quad B \cdot A = (-3 \quad 6); \quad B \cdot C = (-1); \quad C^t \cdot B^t = (-1)}$$

**b) (1.5 puntos) Calcule la matriz X en la ecuación $A \cdot X + B^t = 4C$.** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$A \cdot X + B^t = 4C \implies A \cdot X = 4C - B^t$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la matriz inversa $A^{-1}$ (si existe): $$X = A^{-1} \cdot (4C - B^t)$$ Llamaremos $D$ a la matriz resultante de la operación $4C - B^t$ para simplificar el proceso: $$X = A^{-1} \cdot D$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de multiplicación importa. Como $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa $A^{-1}$ también debe entrar por la izquierda.

Calculamos $D = 4C - B^t$: $$4C = 4 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \end{pmatrix}$$ $$B^t = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$ Entonces: $$D = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - (-2) \\ -4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -7 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{D = \begin{pmatrix} -2 \\ -7 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (3 \cdot 2) - (0 \cdot 1) = 6 - 0 = 6$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $Adj(A)_{11} = 2$ - $Adj(A)_{12} = -1$ - $Adj(A)_{21} = 0$ - $Adj(A)_{22} = 3$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \implies (Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ La matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2 \times 2$, la inversa se puede obtener rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando el signo de la secundaria y dividiendo por el determinante.

Multiplicamos $A^{-1}$ por $D$: $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -7 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto matricial: $$X = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 \cdot (-2) + 0 \cdot (-7) \\ (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot (-7) \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -4 + 0 \\ 2 - 21 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -4 \\ -19 \end{pmatrix}$$ Simplificando los términos: $$X = \begin{pmatrix} -4/6 \\ -19/6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/3 \\ -19/6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3} \\ -\dfrac{19}{6} \end{pmatrix}}$$