Estudio de continuidad, derivabilidad, monotonía y curvatura

**a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función.** Primero, identificamos el dominio de la función. La primera rama, $4/x$, no está definida en $x=0$. Como $0 \leq 2$, el punto $x=0$ pertenece a esa rama. Por tanto, el dominio es $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. - En $\mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$, la función es continua por ser composición de funciones elementales (racional y polinómica). - En **$x=0$**, hay una **discontinuidad de salto infinito** (asíntota vertical). Estudiamos la continuidad en el punto de cambio de rama, **$x=2$**: 1. $f(2) = \frac{4}{2} = 2$. 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{4}{x} = \frac{4}{2} = 2$. 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 2x + 2) = 2^2 - 2(2) + 2 = 2$. Como $f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2$, la función es **continua en $x=2$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea continua en un punto $a$, deben existir y coincidir los límites laterales y el valor de la función: $\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = f(a)$. ✅ **Resultado (continuidad):** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$f'(x)=\begin{cases} -\frac{4}{x^2} & \text{si } x \lt 2, x \neq 0 \\ 2x - 2 & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$ Analizamos la derivabilidad en el punto de cambio de rama, **$x=2$**, calculando las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $f'(2^-) = -\frac{4}{2^2} = -\frac{4}{4} = -1$. - Derivada por la derecha: $f'(2^+) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$. Como $f'(2^-) \neq f'(2^+)$, la función **no es derivable en $x=2$** (existe un punto anguloso). 💡 **Tip:** Una función es derivable en un punto si es continua en él y las derivadas laterales existen y coinciden. Si la función no es continua en un punto (como en $x=0$), automáticamente no es derivable allí. ✅ **Resultado (derivabilidad):** $$\boxed{\text{Derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}}$$

**b) (1 punto) Estudie su monotonía y su curvatura para $x > 0$.** Analizamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo $(0, +\infty)$, teniendo en cuenta el punto crítico $x=2$ donde cambia la definición. - Para $0 \lt x \lt 2$: $f'(x) = -\frac{4}{x^2}$. Como $x^2$ siempre es positivo, $f'(x)$ es siempre negativa ($f'(x) \lt 0$). - Para $x \gt 2$: $f'(x) = 2x - 2$. Si $x \gt 2$, entonces $2x \gt 4$, por lo que $2x - 2 \gt 2$. La derivada es siempre positiva ($f'(x) \gt 0$). **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & \nexists & +\\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ La función es **decreciente** en $(0, 2)$ y **creciente** en $(2, +\infty)$. Presenta un mínimo relativo en el punto anguloso $(2, 2)$. ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente en } (0, 2) \text{ y creciente en } (2, +\infty)}$$

Calculamos la segunda derivada en cada tramo para $x \gt 0$: - Si $0 \lt x \lt 2$: $f'(x) = -4x^{-2} \implies f''(x) = 8x^{-3} = \frac{8}{x^3}$. - Si $x \gt 2$: $f'(x) = 2x - 2 \implies f''(x) = 2$. Analizamos el signo de $f''(x)$: - En $(0, 2)$: $f''(x) = \frac{8}{x^3}$. Para $x \gt 0$, esta expresión es siempre positiva. - En $(2, +\infty)$: $f''(x) = 2$, que es siempre positivo. **Tabla de curvatura:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f''(x) & + & \nexists & +\\ \hline f(x) & \cup & \text{Punto ang.} & \cup \end{array}$$ Como $f''(x) \gt 0$ en todo el dominio considerado (excepto en $x=2$), la función es **convexa** (cóncava hacia arriba) en ambos tramos. 💡 **Tip:** Si $f''(x) \gt 0$ la función es convexa ($\cup$), y si $f''(x) \lt 0$ es cóncava ($\cap$). ✅ **Resultado (curvatura):** $$\boxed{\text{Convexa en } (0, 2) \cup (2, +\infty)}$$