Probabilidad de aprobar Geografía: Teorema de la Probabilidad Total y Bayes

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales para organizar la información: - $A$: "El alumno elige la opción A". - $B$: "El alumno elige la opción B". - $Ap$: "El alumno aprueba la asignatura". - $\overline{Ap}$: "El alumno no aprueba (suspende) la asignatura". Extraemos los datos del enunciado: - Total de alumnos: $1150$. - Alumnos opción A: $598$. - Alumnos opción B: $1150 - 598 = 552$. Calculamos las probabilidades de elegir cada opción: $$P(A) = \frac{598}{1150} = 0.52$$ $$P(B) = \frac{552}{1150} = 0.48$$ Las probabilidades condicionadas dadas son: $$P(Ap|A) = 0.78 \implies P(\overline{Ap}|A) = 1 - 0.78 = 0.22$$ $$P(Ap|B) = 0.74 \implies P(\overline{Ap}|B) = 1 - 0.74 = 0.26$$ Presentamos el árbol de probabilidad:

**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que este alumno haya aprobado esta asignatura?** Para calcular la probabilidad de que un alumno apruebe, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de aprobar por la opción A y por la opción B: $$P(Ap) = P(A) \cdot P(Ap|A) + P(B) \cdot P(Ap|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(Ap) = 0.52 \cdot 0.78 + 0.48 \cdot 0.74$$ $$P(Ap) = 0.4056 + 0.3552 = 0.7608$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas finales que conducen a un mismo suceso (en este caso, aprobar) nos da la probabilidad total de dicho suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Ap) = 0.7608}$$ (o equivalentemente un **76.08%**)

**b) (1 punto) Si se sabe que este alumno ha aprobado Geografía, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido la opción A?** En este apartado, nos piden una probabilidad a posteriori: sabemos que el alumno ha aprobado (suceso $Ap$) y queremos saber la probabilidad de que viniera de la opción A ($A$). Usaremos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|Ap) = \frac{P(A \cap Ap)}{P(Ap)}$$ Como ya hemos calculado ambos valores en los pasos previos: - Probabilidad de elegir A y aprobar: $P(A \cap Ap) = P(A) \cdot P(Ap|A) = 0.4056$ - Probabilidad total de aprobar: $P(Ap) = 0.7608$ Sustituimos: $$P(A|Ap) = \frac{0.4056}{0.7608} \approx 0.5331$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" dado un "efecto". Se calcula como la probabilidad de esa rama específica dividida entre la probabilidad total del suceso conocido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|Ap) \approx 0.5331}$$ (o un **53.31%** aproximadamente)