Contraste de hipótesis para la proporción de nacimientos

En primer lugar, debemos definir la hipótesis nula ($H_0$) y la hipótesis alternativa ($H_1$). El enunciado ya nos da la hipótesis nula, que representa la creencia previa o el valor de referencia. - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \geq 0.45$. Se asume que la proporción es al menos 0.45. - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \lt 0.45$. Representa la afirmación del estudio que queremos contrastar (que la proporción ha descendido). Como la hipótesis alternativa utiliza el signo $\lt$, estamos ante un **contraste unilateral de cola izquierda**. 💡 **Tip:** Recuerda que la hipótesis nula siempre contiene el signo de igualdad ($\_, \le, \ge$). La hipótesis alternativa es la que queremos probar con nuestro estudio.

Extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 200$. - Número de éxitos (nacimientos con luna llena): $x = 70$. - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{70}{200} = 0.35$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.01$ (es decir, $1\%$). También necesitamos los valores bajo la hipótesis nula: - Proporción poblacional supuesta: $p_0 = 0.45$. - Complemento: $q_0 = 1 - p_0 = 1 - 0.45 = 0.55$. 💡 **Tip:** Antes de proceder, verificamos que la muestra es suficientemente grande para usar la aproximación normal: $n \cdot p_0 = 200 \cdot 0.45 = 90 \gt 5$ y $n \cdot q_0 = 200 \cdot 0.55 = 110 \gt 5$. Al cumplirse, podemos usar el estadístico $Z$.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.01$ en un contraste unilateral de cola izquierda, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.01$. Buscamos en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$ el valor $z_{0.01}$ que deja a su derecha un área de $0.01$, o lo que es lo mismo, que deja a su izquierda un área de $0.99$: $$P(Z \le z_{0.01}) = 0.99 \implies z_{0.01} \approx 2.33.$$ Como es de cola izquierda, el valor crítico es **$-2.33$**. La **región de rechazo** es el intervalo: $$\boxed{(-\infty, -2.33)}$$ 💡 **Tip:** Si el estadístico que calculemos cae dentro de este intervalo, rechazaremos la hipótesis nula y daremos por buena la afirmación del estudio.

Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z_{obs}$ utilizando la fórmula para la proporción: $$Z_{obs} = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{obs} = \frac{0.35 - 0.45}{\sqrt{\dfrac{0.45 \cdot 0.55}{200}}} = \frac{-0.10}{\sqrt{0.0012375}} = \frac{-0.10}{0.035178...}$$ Calculando el resultado final: $$Z_{obs} \approx -2.8427$$ ✅ **Estadístico de contraste:** $$\boxed{Z_{obs} \approx -2.84}$$

Comparamos el estadístico observado con la región de rechazo: Como $Z_{obs} = -2.84$ es menor que el valor crítico $-2.33$ (es decir, $-2.84 \in (-\infty, -2.33)$), el valor **cae en la región de rechazo**. Por tanto, **rechazamos la hipótesis nula $H_0$**. **Conclusión:** A un nivel de significación del $1\%$, existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la proporción de nacimientos con luna llena ha descendido. Por tanto, **la afirmación del estudio es correcta**. 💡 **Tip:** Al rechazar $H_0$, aceptamos la alternativa $H_1$, que era precisamente lo que afirmaba el nuevo estudio. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0. \text{ La afirmación del estudio es correcta.}}$$