Operaciones con matrices en contexto real: Precios y compras

**a) (1.8 puntos) Calcule $P \cdot Q^t$ y $Q \cdot P^t$ e indique el significado de los elementos de las matrices resultantes.** Primero, obtenemos la transpuesta de $Q$, intercambiando sus filas por columnas: $$Q = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix} \implies Q^t = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $P \cdot Q^t$. Recordamos que se multiplica cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda: $$P \cdot Q^t = \begin{pmatrix} 25 & 20 & 15 \\ 23 & 25 & 17 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento: - Fila 1, Columna 1: $25 \cdot 2 + 20 \cdot 1 + 15 \cdot 3 = 50 + 20 + 45 = 115$ - Fila 1, Columna 2: $25 \cdot 5 + 20 \cdot 1 + 15 \cdot 1 = 125 + 20 + 15 = 160$ - Fila 2, Columna 1: $23 \cdot 2 + 25 \cdot 1 + 17 \cdot 3 = 46 + 25 + 51 = 122$ - Fila 2, Columna 2: $23 \cdot 5 + 25 \cdot 1 + 17 \cdot 1 = 115 + 25 + 17 = 157$ $$\boxed{P \cdot Q^t = \begin{pmatrix} 115 & 160 \\ 122 & 157 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices $A \cdot B$, el número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $B$.

Analizamos qué representa cada fila y columna en el resultado de $P \cdot Q^t$: - Las **filas** corresponden a los comercios ($C_1$ y $C_2$). - Las **columnas** corresponden a las personas (Cati y Manuel). Por tanto, los elementos representan el gasto total: - $115$: Gasto total de **Cati** en el comercio **$C_1$**. - $160$: Gasto total de **Manuel** en el comercio **$C_1$**. - $122$: Gasto total de **Cati** en el comercio **$C_2$**. - $157$: Gasto total de **Manuel** en el comercio **$C_2$**.

Podemos calcular $Q \cdot P^t$ directamente o usando la propiedad de la transpuesta: $(P \cdot Q^t)^t = (Q^t)^t \cdot P^t = Q \cdot P^t$. Transponemos el resultado obtenido anteriormente: $$\boxed{Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} 115 & 122 \\ 160 & 157 \end{pmatrix}}$$ En esta matriz, el significado es el opuesto al anterior: - Las **filas** representan a las personas (Cati y Manuel). - Las **columnas** representan a los comercios ($C_1$ y $C_2$). Significado de los elementos: - La fila 1 indica lo que le costaría la compra a **Cati** en cada comercio ($115$€ en $C_1$ y $122$€ en $C_2$). - La fila 2 indica lo que le costaría la compra a **Manuel** en cada comercio ($160$€ en $C_1$ y $157$€ en $C_2$).

**b) (0.7 puntos) A la vista de lo obtenido en el apartado anterior, ¿dónde les interesa hacer la compra a cada uno?** Analizamos los costes individuales obtenidos en la matriz $Q \cdot P^t$: 1. **Para Cati:** - Coste en $C_1$: $115$ - Coste en $C_2$: $122$ Como $115 < 122$, a Cati le interesa comprar en el comercio **$C_1$**. 2. **Para Manuel:** - Coste en $C_1$: $160$ - Coste en $C_2$: $157$ Como $157 < 160$, a Manuel le interesa comprar en el comercio **$C_2$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Cati: } C_1, \quad \text{Manuel: } C_2}$$